Orthonormalisierung und Unterräume

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DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalisierung und Unterräume
Hallo!

Ich sitze zur Zeit an folgender Aufgabe:

Wir haben den Vektorraum:



und außerdem das Skalarprodukt:



In der ersten Aufgabe sollten wir die Orthonormalbasis von mithilfe des Schmidt'schen Verfahrens bestimmen. Das habe ich auch gemacht, ich bekomme für die ONB folgendes heraus:





Bis dahin bin ich mir relativ sicher keine allzugroßen Fehler gemacht zu haben, jetzt kommt aber die Aufgabe an der ich knobel:

b) Sei . Bestimmen Sie Polynome und
mit


Wenn ich es richtig verstehe soll nun als Summe zweier Polynome entstehen, wobei ein Polynom aus dem Unterraum U stammt und ein Polynom aus der Orthogonalprojektion des Unterraums U.

Mein Ansatz: Zunächst dachte ich, dass ich eine triviale Lösung nehme und sage

Ich denke aber nicht das Dies gefordert ist.

Habt ihr Tipps für mich? smile

(Nebenfrage: Wir haben das Thema noch nicht wirklich viel behandelt, daher meine Frage; Was genau bezeichnet ? Ist damit die ONB gemeint?)

Dankeschön schonmal!
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Muss genau dasselbe lösen gerade.^^ Genau zwei Threads unter dir. Hab aber noch keinen Ansatz.
 
 
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich das Falsche bei der SuFu eingegeben Big Laugh D

Edit:// Vllt sollten wir dann Die Threads zusammenlegen.

Ist ja inhaltlich das gleiche, nur bei dem 3. Vektor der ONB haben wir was anderes heraus.

Edit 2:// Okay lesen will gelernt sein, wir haben das selbe heraus smile
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ist der Orthogonalraum von U, sprich der Unterraum aller Vektoren aus V, die auf U senkrecht stehen.
Also hier alle für die für alle gilt.

ist die Projektion von r auf U. Wie berechnet man eine Projektion, wenn man eine Orthonormalbasis von U hat?
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke für die Antwort.

Das mit dem verschwindenden Skalarprodukt kenn ich noch aus der Schule, aber zu der Projektion haben wir nur folgendes aufgeschrieben, ich weiß nur nicht, ob ich das so anwenden kann:

Vektor aus dem Vektorraum V
Vektor aus dem Vektorraum U, der orth. auf V steht.

Für die Projektion von x auf den Vektor z gelte:



"Passt" das hier?



Danke!
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe fast dasselbe wie du hier stehen, bloß das ganze als Summe dargestellt! Ich muss aber zugeben, ich habe hier absolut keine Ahnung. Das mit der Bedingung der Orthogonalität ist mir schon klar, weiss aber nicht wie ich das anwenden muss. Dasselbe mit der Projektion. Kenne das nur im Zusammenhang aus der Schulzeit, aber nicht im Zusammenhang mit Basen.
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so ähnlich Augenzwinkern
um das ganze mal systematisch anzugehen: Du hast eine ONB von U, die Basisvektoren nenne ich b_1, b_2, b_3.
r_U liegt in U, also kannst du folgendes ansetzen mit unbekannten Koeffizienten .
Jetzt berechne das Skalarprodukt .
Edit: Letztlich wirst du damit sehen, woher die Summe in dem Bild von HBX8X kommt
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn ich das Skalarprodukt von oben nehme, gilt es ja folgendes aufzulösen:








Ist das soweit dann erstmal ok?

Edit:// Ich würde als nächstes einfach aus der ONB "U" von oben die verschiedenen einsetzen und die erstmal als konstanten ansehen.
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Du brauchst zunächst nur Eigenschaften des Skalarproduktes, nicht seine genaue Definition

Jetzt die Linearität des Skalarproduktes verwenden und natürlich, dass die b_i eine ONB sind.
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ein klick Moment, hoffentlich ist der auch richtig:

die sind alle senkrecht aufeinander, also ist deren Skalarprodukt null, außer bei dem Skalarprodukt

Aus dem Skalarprodukts-Term von dir, wo du einfach eingesetzt hast, kann man 3 Skalarprodukte daraus machen: Sprich:



Da bei orthogonalen Vektoren wie erwähnt das Skalarprodukt verschwindet bleibt nur noch:


Das würde ich dann zum Quadrat der Länge schreiben:



Soweit ok?

Edit:// Jetzt würde ich dann das Skalarprodukt der Aufgabe verwenden...
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt auch einfach mal fragen, da ich leider gar nicht mitkomm. Die Orthogonalprojektion x_orth element U (wobei hier die von uns bereits berechnete Orthonomalbasis {b1,b2,b3} betrachtet wird) von r(x):=x^3 kann ich wie folgt berechnen (Vorsicht, könnte etwas ,,schräg" aussehen:



Dann die ganzen Integrale bzgl. dieser Skalarprodukte berechnen, so wie es gegeben war und alles zusammenfassen. Dann habe ich die Orthogonalprojektion berechnet.

So, gibt es einen Tipp was ich jetzt machen muss. Und wie wird in der Aufgabe die Projektion bezeichnet. Etwa mit zumindest ist das meine Vermutung?

Oder ist meine Rechnung sogar vollkommen falsch. verwirrt

Edit: Orthogonalprojektion hatte einen Fehler.
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@DeltaX: Genau Freude und weil es eine Ortho_normal_basis ist, welchen Wert hat dann ?
Also ist
Bevor du das Skalarprodukt der Aufgabe benutzt, mach das ganze noch für b_2 und b_3, und setze die Werte von in meinen Ansatz für r_U ein und vergleiche das mit der Summe in dem Bild von HBX8X

Mit dem Skalarprodukt der Aufgabe kannst du dann die konkreten Werte von ausrechnen.
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, habe garnicht mehr bedacht, dass die Vektoren ja normiert sind.

Analog dazu sollte dann:

und

sein.

Demnach ist

(Das entspricht der oben genannten Summe smile )

Jetzt ist es aber doch nötig für die jeweils das Skalarprodukt auszurechnen, oder?
Nur da steckt ja dann wieder das im Skalarprodukt mit den unbekannten drinnen.
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@HBX8X: Dein x_orth ist r_U

@DeltaX: Wenn du die konkreten Werte ausrechnen willst, musst du natürlich - wie HBX8X geschrieben hat -
usw. berechnen, weil du r_U ja noch nicht kennst. Das ergibt sich folgendermaßen:

Weil ist, gilt

für i=1,2,3 (Definition des Orthogonalraumes)

und damit
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist das ganz genau r_U und nicht r_U_Senkrecht_zueinander. Ich nutze doch schließlich die Vektoren der von Teilaufgabe a berechneten Orthonomalbasis, die schließlich zueinander orthogonal sind.
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DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Gleichung gefällt mir smile

Mit den Skalarprodukten erhalte ich ja die ,

nur der Schritt, der jetzt noch fehlt ist ja der, aus dem bekannten und den sowohl als auch bestimmen. Hierfür fehlt mir aber leider der Ansatz, da ich ja über die zwar in die Gleichung für das einsetzen kann und so eben das erhalte, aber ist es dann wirklich nur noch die Gleichung nach aufzulösen, um das Ergebnis zu erzielen?

Dankeschön
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Yepp Freude
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz kurz;

damit ich keinen rechenfehler mache:

, da das Integral 0 ergibt.

Soweit richtig, dann mach ich gleich weiter smile ?
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja blöd wenn man das selber nachrechnen muss, daher liefere ich mal das alpha2:
(Einfach sagen wo, wenn irgendwo ein Fehler ist smile )



als Integral:









Soweit gut?


Edit:// Weil Zeit war: alpha 3 müsste durch das Integral wieder 0 sein.
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir funktioniert es leider noch nicht so ganz. Deshalb muss ich nachfragen. Bei Teilaufgabe a haben wir ja zu U:=[1,x,x^2] die Orthonomalbasis {b1,b2,b3} berechnet.

Nun geht man bei Teilaufgabe b wie folgt ran (So habe ich es verstanden!):



Danach folgt



also subtrahieren mit das oben berechnete. Und dann sollte die Gleichugn erfüllt sein. Ist das richtig? hmm
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Also den einzigen Unterschied den ich zu meinen Rechnungen gesehen habe ist der, dass Du bei deinen Skalarprodukten statt schreibst. Das ist vermutlich der einzige Fehler smile Sonst ists ja genau das, was uns URL gesagt hat, danke nochmal an dieser Stell! Freude

Ich werd das mit der Subtraktion allerdings erst machen, wenn ich das ok für meine Alphas bekomme, da es aber schon spät ist, ist das vermutlich morgen der Fall Wink
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte mich auch nochmals bei euch bedanken, vor allem URL. Freude

@DeltaX. Bist du dir sicher das es sein muss anstatt r(x) ? Denn ein paar Post zuvor, meinte URL es sei richtig, dass man so das r_U(x) bestimmt.
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DeltaX
Jop, habe garnicht mehr bedacht, dass die Vektoren ja normiert sind.

Analog dazu sollte dann:

und

sein.

Demnach ist

(Das entspricht der oben genannten Summe smile )

....


Das meinte ich smile Da hab ich ja nur das Skalarprodukt für die eingesetzt smile
URL Auf diesen Beitrag antworten »

@DeltaX: bei den Integralen für alpha_1 und alpha_3 kannst du einfach argumentieren, dass es die Integranden ungerade Funktionen sind und die Integrale deswegen verschwinden. alpha_2 ist auch richtig.

Ist schon richtig, dass in den Skalarprodukten immer r steht, also z.B. .
Das Skalarprodukt könntest du ja nicht ausrechnen, weil r_U noch nicht bekannt ist. Das hatten wir vorhin, da kam ins Spiel und heraus purzelte die Gleichung, die DeltaX gefiel Augenzwinkern
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, sorry smile

also, mit
ist :







Richtig?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

sieht gut aus
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Das gefällt mir; dann hätte ich nur noch eine Frage:

Die Veranschaulichung dieser Polynome ist ja nicht mehr so leicht Darstellbar,
eine Vorstellung eines 2-D Raumes mit einer Geraden als Menge U und einer dazu senkrechten Geraden als ist aber schonmal ein guter Versuch oder?


Danke aber nochmals für die Hilfe, ohne Dich wär ich nicht weit gekommen smile Freude Wink
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3D geht auch noch: Zweidim U, sprich eine Ebene, mit einer dazu senkrechten Geraden.

Nix zu danken, gern geschehen Wink
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

URL kannst du mir noch einmal bitte genau weiss machen wieso man so r_U(x) und nicht r_U_Orthogonal(x) bestimmt. Mich verwirrt das da wir ja die Orthonomalbasis {b1.b2,b3} verwenden. Ich überlege die ganze Zeit, aber mir wird es einfach nicht klar. Ich hätte hier in einer Klausur tatsächlich einen Fehler begangen, verwirrt
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Hm, ich sehe jetzt nicht genau, wo es bei dir noch hängt verwirrt
Aufgabe war es, und zu finden.
Wir haben eine ONB {b1,b2,b3} von U und können deswegen r_U als Linearkombination dieser Basisvektoren ansetzen (weil wir ja schon wissen, dass r_U in U sein soll).
r_U steht nicht senkrecht auf U sondern liegt vielmehr in U
HBX8X Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt hab ich es endlich! Vielen dank URL du hast mir sehr geholfen! smile Freude
URL Auf diesen Beitrag antworten »

und nochmal: Gern geschehen Wink
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