Fourierkoeffizienten der Kosinus-Funktion

20.04.2014, 19:12

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Fourierkoeffizienten der Kosinus-Funktion

Hallo ihr Lieben,
je, selbst an Ostern muss ich mich mit Aufgaben rumplagen^^
Wie der Titel schon sagt, möchte ich die Fourierkoeffizienten der Kosinus-Funktion berechnen.

Allgemein sind diese ja wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \hat f_k :=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \! f(x)e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$

Und mit $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \end{eqnarray*}$ kriege ich dann:

$\begin{eqnarray*} \hat f_k =\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} \! (e^{ix}+e^{-ix})e^{-ikx} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} \! (e^{ix-ikx}+e^{-ix-ikx}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4\pi}\left[ \frac{e^{ix-ikx+1}}{i-ik}+\frac{e^{-ix-ikx+1}}{-i-ik} \right]_0^{2\pi} \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt
$\begin{eqnarray*} e^{ix-ikx+1}=\frac{e^{ix}\cdot e}{e^{ikx}} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} e^{-ix-ikx+1}=\frac{e}{e^{ix}e^{ikx}} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} e^{ik2\pi}=cos(k2\pi)+i\cdot sin(k2\pi)=0+1=1 \end{eqnarray*}$ (insbesondere für k=1) erhalte ich also

$\begin{eqnarray*} \hat f_k =\frac{1}{4\pi}\left(\frac{e}{i-ik}+\frac{e}{-i-ik}-\frac{e}{i-ik}+\frac{e}{-i-ik}\right)=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

hää? Kann das denn sein? Ich hoffe, es findet sich jemand, der sich auch am Feiertag meiner Aufgabe annehmen kann :P
Liebe Grüße!

20.04.2014, 20:13

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourierkoeffizienten der Kosinus-Funktion
Hier

Zitat:

Original von Kääsee
Und mit $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \end{eqnarray*}$ kriege ich dann:

steht doch schon die Fourierreihe, da brauchst du die Koeffizienten nur abzulesen.
Aber wenn du trotzdem rechnen willst, wäre hier

Zitat:

Original von Kääsee
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4\pi}\left[ \frac{e^{ix-ikx+1}}{i-ik}+\frac{e^{-ix-ikx+1}}{-i-ik} \right]_0^{2\pi} \end{eqnarray*}$

eine Fallunterscheidung nötig gewesen.

20.04.2014, 21:03

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourierkoeffizienten der Kosinus-Funktion

Zitat:

Original von URL
Hier

Zitat:

Original von Kääsee
Und mit $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x)=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \end{eqnarray*}$ kriege ich dann:

steht doch schon die Fourierreihe, da brauchst du die Koeffizienten nur abzulesen.

verwirrt

Wie das denn?
Leider haben wir zu Fourierreihen rein gar nichts gemacht, außer die Definition aufzuschreiben. Diese ist allerdings aber ganz anders als in Wiki und deshalb verstehe ich dort auch nichts unglücklich

unglücklich

Sorry.
Und wie würde die Fallunterscheidung gehen?

20.04.2014, 21:12

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourierkoeffizienten der Kosinus-Funktion
Dann schreib doch mal die komplexe Fourierreihe auf und vergleiche das mit der Formel für den Kosinus, die du benutzt hast.

Fallunterscheidung: Mal überlegen, wann der Nenner Null wird....

20.04.2014, 21:17

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, aber die komplexe Fourierreihe haben wir nicht durchgenommen unglücklich

unglücklich

Ich könnte es jetzt natürlich von Wiki abkopieren, natürlich will ich aber nur das anwenden, was wir auch gemacht haben.

Der Nenner des ersten Bruchs wird für k=1 Null und der des zweiten Bruchs für k=-1.

20.04.2014, 21:24

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst aber doch die komplexen Fourierkoeffizienten berechen verwirrt

verwirrt

Abgesehen davon ist die reelle Fourierreihe der Kosinus-Funktion einfach nur die Kosinusfunktion und du kannst die reellen Fourierkoeffizienten wieder ablesen verwirrt

verwirrt

Vielleicht solltest du mal aufschreiben, wie die Fourrierreihe eingeführt wurde. Momentan werde ich nicht schlau daraus.

Ja, k=1 und k=-1 sind die Problemfälle. Deine eingangs hingeschriebene Gleichung für $\begin{eqnarray*} \hat{f_k} \end{eqnarray*}$ gilt in dem Fall also nicht. Und was machst du jetzt damit?

Anzeige

20.04.2014, 21:36

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Also. Zuerst kommt im Skript die Definition für die Fourierkoeffizienten, die ich oben schon geschrieben habe. Weiter heißt es:

Zitat:

Das n-te Fourierpolynom ist definiert als:

$\begin{eqnarray*} FNf(x) :=\sum\limits_{k=-N}^N \hat f_ke^{ikx} \end{eqnarray*}$

Die Fourierreihe Ff(x) ist deniert als die Reihe deren Partialsummen
durch die Fourierpolynome FNf(x) gegeben sind.

Das ist alles.

20.04.2014, 21:44

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: für k=-1 und k=1 würde ich es einfach nochmal "extra" von vorne rechnen und bekomme dann für beides 1/2 heraus.

20.04.2014, 21:53

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergleich mal das erste Fourierpolynom mit der Formel für den Kosinus.

20.04.2014, 22:18

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Also hätte ich dann
$\begin{eqnarray*} F1f(x) :=\sum\limits_{k=-1}^1 \frac{1}{2}e^{ikx} \end{eqnarray*}$
Und das ist ja dann fast der Kosinus, nur fehlt noch der mittlere Summand für k=0, oder? Also da stört ja dann noch ein +1 in der Mitte, oder nicht?

20.04.2014, 22:52

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal langsam: Das erste Fourierpolynom hat die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \hat{f}_i,i=-1,0,1 \end{eqnarray*}$ .
Wie kommst du von da auf $\begin{eqnarray*} F1f(x) :=\sum\limits_{k=-1}^1 \frac{1}{2}e^{ikx} \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2014, 23:05

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einfach in meine Formel von ganz am Anfang (also die mit Integral usw.) für k einmal 1 und einmal -1 eingesetzt und jedes Mal 1/2 rausbekommen^^

20.04.2014, 23:31

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

und was ist mit $\begin{eqnarray*} \hat{f}_0 \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2014, 23:36

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der ist 0, oder?

20.04.2014, 23:44

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

und was ist dann $\begin{eqnarray*} F1f(x) \end{eqnarray*}$ ?

21.04.2014, 00:09

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Das ist dann wohl der Kosinus?!
Aber ich steh dann trotzdem noch auf dem Schlauch, was denn jetzt die Koeffizienten sind... muss ich die dann getrennt "aufführen", also für $\begin{eqnarray*} k\pm 1 \end{eqnarray*}$ sind sie 1/2 und sonst 0?

21.04.2014, 00:14

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

21.04.2014, 00:29

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Wink

Und gute Nacht!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »