Integrieren von 1/sin(x)

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20.04.2014, 22:05	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren von 1/sin(x) Hallo liebe Boardies, ich würde gerne die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{sin(x)} \end{eqnarray}$ integrieren bzw. eine Stammfunktion dafür finden. Ich dachte an Integrieren per Substitution. Ich weiß aber nicht was ich substituieren soll. $\begin{eqnarray} sin(x) \end{eqnarray}$ zu substituieren gibt hier wenig Sinn. Kann mir jemand einen Tipp geben? Viele Grüße
20.04.2014, 22:07	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielleicht würde es helfen, mal mit $\begin{eqnarray} sin(x) \end{eqnarray}$ zu erweitern. Viele Grüße!
20.04.2014, 22:14	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
dann habe ich ja die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{sin(x)}{sin^2(x)} \end{eqnarray}$ Bringt mir aber leider immernoch nichts.
20.04.2014, 22:14	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch das doch mal umzuschreiben. Vielleicht siehst du dann die Substitution.
20.04.2014, 22:19	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Deutest du auf den Pythagoras an? $\begin{eqnarray} sin^2(x) + cos^2(x) = 1\Leftrightarrow sin^2(x) = 1-cos^2(x)<br /> \end{eqnarray}$ ?
20.04.2014, 22:22	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
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20.04.2014, 22:29	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich, bringt mich trotzdem nicht weiter. Schau hier: $\begin{eqnarray} \int \frac{sin(x)}{sin^2(x)} dx =\int \frac{sin(x)}{1-cos^2(x)} dx =\frac{-1}{2}\int \frac{1}{t\sqrt{1-t}} dt \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t = 1-cos^2(x) \end{eqnarray*}$ hmmm...
20.04.2014, 22:36	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf einen Vorzeichenfehler hast du richtig gerechnet. Das letzte Integral kann man zwar auch integrieren, aber ich würde am Anfang eher die Substitution $\begin{eqnarray} t= cos(x) \end{eqnarray}$ empfehlen.
20.04.2014, 22:42	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich t mit cos(x) substituiere, erhalte ich letztes Integral: $\begin{eqnarray} <br /> \int \frac{1}{t^2-1}dt<br /> \end{eqnarray}$ Sieht nach Logartihmus aus, aber das geht ja auch nicht.
20.04.2014, 22:44	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib es so um, dass es geht. Dafür musst du schauen, was du noch für Möglichkeiten für die Integration zur Verfügung hast.
20.04.2014, 23:04	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
So vielleicht? Idee: Partialbruchzerlegung: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{t^2-1}dt = \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t-1)} - \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t+1)} = \left [\frac{1}{2}ln\left \|t-1\right \| -\frac{1}{2} ln\left \| t+1 \right \| \right] \end{eqnarray}$ stimmt es jetzt?
20.04.2014, 23:08	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
Liest sich gut. Jetzt musst du noch resubstituieren und bist dann fertig. (Bei den letzten zwei Integralen fehlt noch ein dt.) Viele Grüße!
20.04.2014, 23:09	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay super vielen Dank Also das hat aber lang gedauert, mein Prof hat einen anderen Trick verwendet, den ich nicht verstehe, der aber deutlich schneller zum Ziel führt.
20.04.2014, 23:12	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hat dein Prof denn gemacht? Finde den Weg hier eigentlich relativ schön. Ähnliche Integrale kann man damit auch relativ gut berechnen.
20.04.2014, 23:25	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int \frac{1}{sin(x)}dx<br /> \Phi (t) = 2\arctan(t)<br /> dx = \frac{2}{1+t^2}dt<br /> \sin (x) = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = \frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{2}{x})} = \frac{2t}{1+t^2}<br /> <br /> \int \frac{1}{\sin(x)}dx = \int \frac{\phi^{'}(t)}{\sin\phi(t)}dt = \int \frac{2(1+t^2)}{(1+t^2)2t}dt = \ln\left \| t \right \| = ln\left \| \tan\frac{x}{2} \right \| \end{eqnarray}$ Hä?
20.04.2014, 23:30	Helfer123	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel kürzer ist das auch nicht (wenn überhaupt). Es wird jedenfalls die Weierstraß-Substitution verwendet: de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution Diese funktioniert, wenn du eine rationale Funktion integrieren sollst, deren Argumente $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(x) \end{eqnarray}$ sind.
20.04.2014, 23:43	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich danke dir für den Hinweiß. Das heißt also ich kann die Weierstraß-Substitution bei Funktionen in denen sin bzw cos enthalten ist, immer anwenden?

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