Bedeutung Differentialgleichung (Frage zur Schreib-/ Sprechweise)

21.04.2014, 12:40	SamJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutung Differentialgleichung (Frage zur Schreib-/ Sprechweise) Meine Frage: Liebe Matheboard-Member, ich sitze hier gerade vor einer Formel aus meiner Vorlesung zur Regelungstechnik (dynamische Systeme): $\begin{eqnarray} a_n \frac{d^n y}{d t^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0y \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe identifiziert, dass es sich bei $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dt} \end{eqnarray}$ um eine Ableitung handelt. Allerdings verstehe ich die bedeutung der Potenzen nicht. Meine Vermutung (am Beispiel von n=3): $\begin{eqnarray} \frac{d^3y}{dt^3} \end{eqnarray}$ Dies bedeutet "die dritte Ableitung der Funktion 'y' nach ' $\begin{eqnarray} t^3 \end{eqnarray}$ '". Allerdings erscheint mir das unlogisch, da man ja normalerweise nach einer Variablen ohne Exponenten ableitet (hier also nur "t"). Bitte helft mir diese Differentialgleichung richtig zu interpretieren =). Vielen Dank!
21.04.2014, 12:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \frac{d^3y}{dt^3} \end{eqnarray}$ bedeutet, dass die dritte Ableitung von y nach t: $\begin{eqnarray} y''' \end{eqnarray}$ Es wird somit nicht nach $\begin{eqnarray} t^3 \end{eqnarray}$ abgeleitet, sondern dreimal nach t. Grüße.
21.04.2014, 13:01	SamJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die sehr schnelle Antwort, Kasen75! Nach meinem Verständnis stellt dann die Exponentschreibweise, die sich sowohl im Zähler als auch im Nenner findet, eine redundante Information dar. Stimmt das? Zum besseren Verständnis: $\begin{eqnarray} \frac{d^3y}{dt^3} = \frac{d^3y}{dt} \end{eqnarray}$ Ist folgende Aussage korrekt? Oder ist der rechte Teil der Gleichung gar falsch (nicht zulässig) bzw. bedeutet etwas völlig anderes? Vielen Dank!
21.04.2014, 13:15	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Zähler wird angegebenen, dass die Funktion y dreimal abgeleitet wird. Im Nenner wird angegeben, wonach abgeleitet wird. Und hier wird dreimal nach der Variablen t abgeleitet. Alles in allem ist das die übliche Schreibweise. Deswegen stimmt die rechte Seite nicht. Denn hier wird im Nenner nur einmal nach t abgeleitet. Das passt aber nicht mit dem Zähler zusammen, da dort steht, dass y dreimal abgeleitet wird. Und es kann ja auch sein, dass y dreimal abgeleitet wird und zwar zweimal nach der Variablen t und z.B. einmal nach der Variablen s. So einen Fall hast du jetzt natürlich nicht vorliegen.
22.04.2014, 11:32	SamJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Mir hat besonders der Hinweis geholfen, dass man auch zwischendurch nach einer anderen Variablen ableiten kann. Meine Frage ist damit erfolgreich geklärt

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