Dualräume: Basis des Vektorraums

21.04.2014, 14:10	voodoo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualräume: Basis des Vektorraums Hallo. Sitze gerade an folgender Aufgabe: http://i.imgur.com/8lTeo3Q.jpg Meine Vermutung ist, dass die Aussage stimmt. Ich weiss nur nicht wie ich es zeigen könnte. Meine Idee war zu zeigen, dass zwischen V und V* ein Isomorphismus existiert. Also gibt es auch die Umkehrabbildung und somit werden die durch diese die Basisvektoren von V* auf Basisvektoren von V abgebildet. Ist das die richtige herangehensweise? Brauche dringend Unterstützung, morgen ist Abgabe. Danke im Voraus und frohe Ostern.
21.04.2014, 15:16	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja gerade $\begin{eqnarray} V^ =Hom(V,\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ . Du könntest erstmal überprüfen, ob eine Basis mit solchen Eigenschaften existieren kann (Lineare Unabhängigkeit!). Wenn du die Basiseigenschaft gezeigt hast, ist erst im zweiten Schritt die Eindeutigkeit zu zeigen. Wie würdest du an die Aufgabe herangehen, um zu zeigen, dass es eine Basis ist.
30.06.2014, 18:03	voodoo666	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi bijektion! Sorry für die unglaublich späte Antwort, die Abgabe war ja schon vor einer halben Ewigkeit. Ich habe es damals nicht mehr auf die Reihe bekommen. Nun bin ich am Lernen für meine Modulprüfung und habe mich nochmal rangesetzt, komme bei dem Beweis immer noch kein Stück weiter. Kannst du mir sagen wie man vorgehen muss? Ich habe die Befürchtung dass der Beweis in der Klausur rankommen könnte und ich dann immer noch aufm Schlauch stehe! Grüße
30.06.2014, 19:34	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau doch erstmal was du hast: Es ist $\begin{eqnarray} \mathcal{B}^ \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ . D.h: Für jede Lineare Abbildung $\begin{eqnarray} T:V\to\mathbb{K} \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} \lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{K} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} T=\lambda_1 \cdot v_1^* +\dots+\lambda_n\cdot v_n^* \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} \delta_{ij}=\begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j \end{cases} \end{eqnarray}$ . Was müssen wir überprüfen? Zuerstmal, ob es so eine Basis $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} v_i^(v_j)=\delta_{ij} \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} T(v)\in\mathbb{K} \end{eqnarray}$ , dass sollte also keine Probleme geben. Wichtig ist: $\begin{eqnarray} \sum_{\nu= 1}^n \mu_{\nu}\cdot v_{\nu}^=0 \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} \mu_k=0 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} 1\leq k\leq n \end{eqnarray}$ ). Was kannst du daraus folgern? Wie müssen die Kerne von $\begin{eqnarray} v_k^* \end{eqnarray*}$ aussehen?

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