Beweis, dass die Aussagen äquivalent sind (Matrix AB = null und Rg(a) < n)

21.04.2014, 16:13

ubik

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Beweis, dass die Aussagen äquivalent sind (Matrix AB = null und Rg(a) < n)

Meine Frage:
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.

Die Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, und sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{mn} (K) \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. Es gibt eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \in M_{nn} (K), B \neq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass alle Einträge $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ null sind.

2. Rg(a) < n.

Meine Ideen:
Zu 1:

Die Matrizen AB = 0 sehen so aus:

AB = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{m1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & ... & b_{1n} \\ ... & ... & ... \\ b_{n1} & ... & b_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 \end{pmatrix}

Dann gilt:

(a_{11} + a_{12} + ... + a_{1n}) * (b_{11} + b_{21} + ... + b_{n1}) = 0
(a_{21} + a_{22} + ... + a_{2n}) * (b_{12} + b_{22} + ... + b_{n2}) = 0
...
(a_{m1} + a_{m2} + ... + a_{mn}) * (b_{1n} + b_{2n} + ... + b_{nn}) = 0

Und weiter weiß ich nicht :-(

21.04.2014, 16:25

bijektion

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Es soll $\begin{eqnarray*} A,B \in M_{n \times n}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ mit einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ gelten.
Du musst doch beide Richtungen zeigen. Die erste Richtung ist: Sei $\begin{eqnarray*} Rg(A)<n \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du folgern, dass dann eine solche Matrix $\begin{eqnarray*} B \neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert. Aber wenn der Rang nicht maximal ist, was ist dann mit dem Bild?

Die andere Richtung: Es existiere eine Matrix $\begin{eqnarray*} B\neq 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} A \cdot B = 0 \end{eqnarray*}$ . Zu folgern ist, dass dann $\begin{eqnarray*} Rg(A)<n \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Kleiner Tipp zur Rückrichtung: Wenn $\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ Aussagen sind und du zeigen musst $\begin{eqnarray*} V \Rightarrow W \end{eqnarray*}$ , dann ist das äquivalent mit $\begin{eqnarray*} \neg W \Rightarrow \neg V \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2014, 14:05

Ingo-B

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Hallo zusammen!

Ich beschäftige mich mit derselben Aufgabe wie der TE. Vorwegschicken möchte ich noch, dass ich ein Anfänger im Studium der Methematik bin.

Bei mir hakt bei dem Verständnis der 2. Aussage:
Rg (A) < n

Warum darf die Matrix A keinen maximalen Rang haben?
Mir ist klar, dass die Matrix einer gewissen Bedingung unterliegen muss, da B $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 ist und AB = 0 ist.

Ein Schupser in die entsprechende Denkrichtung wäre sehr hilfreich.

27.04.2014, 14:50

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Kennst du den Dimensionssatz?

27.04.2014, 14:57

Ingo-B

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Da diese Aufgabe in Kurseinheit 2 fällt und in Kurseinheit 3 erst Dimension thematisiert wird, nehme ich an, dass ich auch ohne die Dimension zu verwenden die Aufgabe zu lösen imstande sein sollte.

Kurz gesagt: nein.

27.04.2014, 15:24

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Wie ist denn bei dir Rg(A) definiert, wenn du den Dimensionsbegriff nicht hast? verwirrt

verwirrt

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27.04.2014, 15:33

Ingo-B

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Die Anzahl der Pivot-Positionen in der Treppennormalform zu A nennt man den Rang von A.

27.04.2014, 15:41

Ingo-B

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Ich habe eine Idee. Darf ich folgendes sagen? :

Es gilt: $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B)= rang(A) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} AB= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} rang(0) < n \end{eqnarray*}$ , ist auch $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B)< n \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} rang(A)< n \end{eqnarray*}$

27.04.2014, 16:08

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Das

Zitat:

Original von Ingo-B
Es gilt: $\begin{eqnarray*} rang(A \cdot B)= rang(A) \end{eqnarray*}$

gilt in der Regel nicht sondern nur " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ "

27.04.2014, 16:14

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Kennst du den Zusammenhang zwischen Rg(A)=n und Injektivität?

27.04.2014, 16:33

Ingo-B

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Wenn Rg(A)=n und n die Anzahl der Spalten, dann ist A injektiv. So oder?

Aber mal was anderes: Wenn ich zeige, dass B invertierbar ist, dann kann ich doch sagen Rg(AB) = Rg (B) oder?

27.04.2014, 16:39

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Zitat:

Original von Ingo-B
Wenn Rg(A)=n und n die Anzahl der Spalten, dann ist A injektiv. So oder?

Genau. Und damit kannst du die Behauptung auch zeigen.

Zitat:

Aber mal was anderes: Wenn ich zeige, dass B invertierbar ist, dann kann ich doch sagen Rg(AB) = Rg (B) oder?

Du wirst nicht zeigen können, dass B invertierbar ist.

27.04.2014, 16:56

Ingo-B

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Also soll ich nun zeigen, dass durch AB = 0 und B ungleich 0 A nicht injektiv ist und damit Rg(A) nicht n sein kann?

27.04.2014, 16:58

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Genau

Freude

27.04.2014, 17:12

Ingo-B

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Dürfte ich das so machen:

$\begin{eqnarray*} A \cdot B = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cdot B \cdot B^{-1}= 0 \cdot B^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cdot I_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: A ist nicht injektiv.

27.04.2014, 17:28

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Nochmal: B muss nicht invertierbar sein!
Also nein, so geht das nicht.

27.04.2014, 17:33

Ingo-B

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Hast du keinen Tipp für mich? Ich bin völlig ratlos, wie ich die Nicht-Injektivität von A nur mit AB=0 nachweisen soll.

27.04.2014, 17:36

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Begründe, dass es einen Vektor x gibt mit $\begin{eqnarray*} Bx\neq 0 \end{eqnarray*}$

27.04.2014, 17:44

Ingo-B

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Du meinst, weil $\begin{eqnarray*} B \neq 0 \end{eqnarray*}$ , gibt es in B mindestens eine Spalte, die nicht nur aus Nullen besteht und daraus ergibt sich, dass es in A nicht nur linear unabhängige Spalten gibt?

27.04.2014, 17:49

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ja

27.04.2014, 17:59

Ingo-B

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Verstanden hab ich das, ich muss das nur nun mathematische sinnvoll hinschreiben.

Vielen Dank für Deine Unterstützung!

27.04.2014, 18:06

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Nachdem du das hast

Zitat:

Original von URL
Begründe, dass es einen Vektor x gibt mit $\begin{eqnarray*} Bx\neq 0 \end{eqnarray*}$

ist es nur ein winziger Schritt einzusehen, dass A nicht injektiv ist.

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