Abschluss eines Folgenraums

21.04.2014, 18:31	wolfgang-e	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschluss eines Folgenraums Meine Frage: Der Raum der abbrechenden Folgen ist definiert durch $\begin{eqnarray} c_{00} :=\left\lbrace \left\lbrace x_n\right\rbrace_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}} \colon x_n=0 \ \text{f\"ur fast alle} \ n \right\rbrace \end{eqnarray}$ . Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline{c_{00}}=\ell^p \end{eqnarray}$ . Nun frage ich mich allerdings, wie $\begin{eqnarray} \overline{c_{00}} \end{eqnarray}$ definiert ist, wenn man noch nicht weiß, dass $\begin{eqnarray} \overline{c_{00}}=\ell^p \end{eqnarray}$ . Wie kann man sich den Abschluss $\begin{eqnarray} \overline{c_{00}} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} c_{00} \end{eqnarray}$ vorstellen? Meine Ideen: Wenn man eine Folge in $\begin{eqnarray} c_{00} \end{eqnarray}$ nimmt, dann liegt der Grenzwert dieser Folge ja wohl in $\begin{eqnarray} \overline{c_{00}} \end{eqnarray}$ . Aber für welche Norm entscheidet man sich bei der Grenzwertbildung? Natürlich wäre die p-Norm die einzig logische Wahl. Aber was spricht gegen eine andere Norm?
21.04.2014, 20:43	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Zu Deiner Frage: Der Abschluss der Abbruchfolgen in dem Raum lp (merke: $\begin{eqnarray} \forall 1\leq p \leq \infty:c_{00}\subsetneq \ell^{p} \end{eqnarray}$ ) ist definiert wie der Abschluss einer Menge in einem topologischen Raum, hier da das erste Abzählbarkeitsaxiom gilt -- wir sind im Banachraum -- einfach die Menge der Grenzwerte von Cauchyfolgen mit Werten aus $\begin{eqnarray} c_{00} \end{eqnarray}$ bezüglich der lp-Norm. Nun kann man beweisen, dass für $\begin{eqnarray} 1\leq p<\infty c_{00} \end{eqnarray}$ sogar dicht in $\begin{eqnarray} \ell^{p} \end{eqnarray}$ , und somit gilt $\begin{eqnarray} \overline{c_{00}}=\ell^{p} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} p=\infty \end{eqnarray}$ ist das allerdings falsch. Beachte, dass der Abschluss meist bezüglich einer Norm in einem bestimmten Raum definiert ist -- vielleicht klärt das Deine Frage.

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