Positive reelle Zahlen durch Intervalle darstellen

21.04.2014, 19:43

lagrange92

Positive reelle Zahlen durch Intervalle darstellen

Meine Frage:
Kann ich die Menge der positiven reellen Zahlen als disjunkte Vereinigung von kompakten Intervallen schreiben?

Meine Ideen:
-

21.04.2014, 20:27

weisbrot

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RE: Positive relle Zahlen durch Intervalle
ja. dazu reicht es das intervall (0,1) so zu schreiben, und das geht ähnlich der konstruktion der cantormenge: nimm das mittlere (abgeschl.) intervall mit durchmesser 1/3, vereinige mit den beiden (in (0,1/3) bzw. (2/3,1) mittig liegenden) intervallen von durchmesser 1/9, usw.
lg

22.04.2014, 08:00

lagrange92

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RE: Positive relle Zahlen durch Intervalle
Ich bin gerade etwas verwirrt, du betrachtest jetzt offene Intervalle, oder?
Lg

22.04.2014, 15:32

weisbrot

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RE: Positive relle Zahlen durch Intervalle
nein

Zitat:

nimm das mittlere (abgeschl.) intervall [...]

vielleicht etwas genauer: wenn $\begin{eqnarray*} S_n = \bigsqcup_{i=1}^{2^n-1} I_i \end{eqnarray*}$ diese aufsteigende folge von disjunkten vereinigungen offener intervalle ist, die man benutzt um die cantormenge zu konstruieren - $\begin{eqnarray*} C := \left[0,1\right]\setminus S_\infty \end{eqnarray*}$ - dann kann man die folge etwas abändern, nämlich: $\begin{eqnarray*} S_n' = \bigsqcup_{i=1}^{2^n-1} \overline{I_i} \end{eqnarray*}$ (mit dem strich ist der abschluss gemeint) - das ist dann eine (aufsteigende) folge von disjunkten vereinigungen abgeschlossener (kompakter) intervalle, und es ist dann $\begin{eqnarray*} (0,1) = S_\infty' = S_1'\sqcup (S_2'\setminus S_1')\sqcup(S_3'\setminus S_2')\sqcup\ldots \end{eqnarray*}$ (wieder eine disjunkte vereinigung kompakter intervalle).
lg

23.04.2014, 10:53

lagrange92

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RE: Positive relle Zahlen durch Intervalle
Danke schön. smile

23.04.2014, 11:14

HAL 9000

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@weisbrot

Warum denkst du, dass $\begin{eqnarray*} (0,1) = S_{\infty}' \end{eqnarray*}$ ist? unglücklich

$\begin{eqnarray*} (0,1)\setminus S_{\infty}' \end{eqnarray*}$ mag etwas kleiner als die Cantormenge sein, aber nur etwas:

Aus der Cantormenge fehlen die abzählbar vielen Zahlen mit endlicher Trinärdarstellung, es bleiben aber immer noch die überabzählbar vielen Zahlen mit nicht abbrechender Trinärdarstellung bestehend nur aus den Ziffern 0 und 2 übrig, wie etwa

$\begin{eqnarray*} [0,{}\overline{02}]_3 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ,

die also nicht in $\begin{eqnarray*} S_{\infty}' \end{eqnarray*}$ liegen.

P.S.: Übrigens sollte die Eingangsfrage wohl eher

Zitat:

Kann ich die Menge der positiven reellen Zahlen als abzählbare disjunkte Vereinigung von kompakten Intervallen schreiben?

lauten, ansonsten wäre die Antwort mit

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ = \bigcup\limits_{x\in \mathbb{R}_+} [x,x] \end{eqnarray*}$

arg trivial. Big Laugh

23.04.2014, 18:30

weisbrot

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mhh, ich hatte schon ein mieses gefühl dabei, weil ich das nur nach bauchgefühl gemacht, aber nie vorher so gesehen hab.
aber jetzt da dus sagst fällts mir wie schuppen von den augen Forum Kloppe

sorry @lagrange :S

Zitat:

[...] ansonsten wäre die Antwort mit
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ = \bigcup\limits_{x\in \mathbb{R}_+} [x,x] \end{eqnarray*}$
arg trivial.

naja, ich hatte schon angenommen, dass er echte intervalle meint.
hast du denn eine idee @hal?

lg

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