Potenzgleichung

21.04.2014, 20:47

mlle_picard

Potenzgleichung

Meine Frage:
Hallo smile

Ich suche mehrere Lösungsansätze für folgende Gleichung
$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = x^{2} - 2 \end{eqnarray*}$

Stehe da gerade peinlicherweise auf dem Schlauch :/

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = x^{2} - 2<br /> \frac{2^{x}}{2} = x^{2} - 2 <br /> 2^{x} = 2x^{2} - 4 \end{eqnarray*}$
So jetzt müsste man das irgendwie mit dem Logarithmus lösen können.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} a^{x} = b <=> log_{a} (b) = x <br /> Also folgt: \log_{2} ( 2x^{2} - 4) = x \end{eqnarray*}$

Was für ein Blödsinn oder unglücklich

21.04.2014, 20:56

Bürgi

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RE: Potenzgleichung
Guten Abend + fröhliche Ostern (gilt noch!)

normalerweise kann man eine solche Gleichung nicht algebraisch lösen.
In Deinem Fall kann man aber die Lösung erraten: x = 2

21.04.2014, 21:07

mlle_picard

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RE: Potenzgleichung
Danke Bürgi für die Antwort ! Auch dir (noch) frohe Ostern Freude

Ok ...erraten dürfte ein Lösungsanstatz sein smile

Gibt es noch andere Möglichkeiten? Kann mir da gerade gar nichts anderes vorstellen, aber die Aufgabenstellung sagt, dass es mehrere Möglichkeiten geben muss verwirrt

21.04.2014, 21:10

Bürgi

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RE: Potenzgleichung
Hallo,

normalerweise kann man so etwas numerisch mit Hilfe eines iterativen Verfahrens (z.B. Newton-Verfahren) lösen.

Wenn für Dich ein graphisches Verfahren möglich ist, kann man diese Gleichung auch näherungsweise graphisch lösen:

22.04.2014, 21:29

mlle_picard

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Super danke Bürgi Freude

Und wie ist das mit dem Newton-Verfahren, das wende ich dann auch die ganze "Funktion" an

$\begin{eqnarray*} f(x)= 2^{x-1} -x^2 + 2 \end{eqnarray*}$
wenn ich für x1 = 1 wähle kommt aber für $\begin{eqnarray*} x2= 1- \frac{2}{0} ? \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 21:36

mlle_picard

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Upps es muss $\begin{eqnarray*} x2= 1 - \frac{2}{log(2)-2} \end{eqnarray*}$ gelten Big Laugh

23.04.2014, 08:18

Bürgi

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Guten Morgen,

Zitat:

Und wie ist das mit dem Newton-Verfahren, das wende ich dann auch die ganze "Funktion" an

Im Prinzip ja, aber was verstehst Du unter der "ganzen" Funktion?

Grundsätzlich wird mit dem Newton-Verfahren iterativ eine Nullstelle berechnet, indem man von einer geeigneten Näherungslösung ausgeht. Und damit fangen die Probleme schon an: Was ist schon geeignet?

Du gehst von einer differenzierbaren Funktion aus und suchst ein $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f(x_N)=0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} n_n \end{eqnarray*}$ eine Näherungslösung für die Nullstelle. Dann ist

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray*}$

eine bessere Näherungslösung für die Nullstelle. Dieser so erhaltene Wert wird für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite eingesetzt und man erhält $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \end{eqnarray*}$ . Usw., etc.. Das Newton-Verfahren konvergiert sehr schnell, so dass mman nach ungefähr 7 Schritten die Nullstelle auf Taschenrechnergenauigkeit berechnet hat.

Für Deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2^{x-1}-x^2+2 \end{eqnarray*}$ benutze
$\begin{eqnarray*} x_0 = -1 \end{eqnarray*}$ für die linke Nullstelle und
$\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ für die rechte Nullstelle.

Nach 5 Schritten hast Du die Lösung auf 8 Dezimale genau.

28.04.2014, 23:49

mlle_picard

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Ok... Vielen Dank für die Hilfe smile

Damit ist jetzt alles geklärt!
P.s. Ich meinte beiden Seiten der Gleichung als eine "ganze" Funktion (schlechte Formulierung unglücklich

)

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