Totale Differentiale

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21.04.2014, 22:30	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Totale Differentiale Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{eqnarray}$ die Aufgabe ist es, folgende totale Differentiale zu bilden: $\begin{eqnarray} (i) \ dr \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (ii) \ d(\frac 1 r) \end{eqnarray}$ Wie genau stell ich das an? Ich versteh die Fragestellung nicht so wirklich - wonach leite ich denn ab?
21.04.2014, 22:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nun, zumindest für (i) gilt: $\begin{eqnarray} \dd r = \nabla \ r(\vec x) \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \\ \dd z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit dem Gradientenvektor von $\begin{eqnarray} \ r(x,y,z) \end{eqnarray}$
21.04.2014, 23:18	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eine partielle Ableitung nach x? Oder nach jeder Variable? Und was mach ich bei (ii)?
21.04.2014, 23:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \dd r = \begin{pmatrix} \frac { \partial r}{ \partial x} \\ \frac { \partial r}{ \partial y} \\ \frac { \partial r}{ \partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \\ \dd z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu (ii) fällt mir nichts Sicheres ein.
22.04.2014, 00:05	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
für ii) einfach kettenregel. lg
22.04.2014, 01:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel war auch meine Idee. Nur, wie formuliert man das sauber ?
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22.04.2014, 15:59	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \dd (f\circ g) = ((\dd f)\circ g)\cdot\dd g \end{eqnarray}$ in dem fall also $\begin{eqnarray} \dd\Big(\frac{1}{r}\Big) = \frac{-1}{r^2}\cdot\dd r \end{eqnarray}$ . man soll sich vorstellen, dass alle variablen eigentlich als funktionen von einem parameter t abhängen, dann hängt die ganze funktion nur von t ab und man kann ganz "normal" nach t differenzieren, und das ergebnis ist das selbe, wie wenn man beim total differenzieren danach einfach noch alles "durch dt teilt". also z.b. die kettenregel: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}(f\circ g) = \bigg(\Big(\frac{\partial}{\partial t} f\Big)\circ g \bigg)\cdot\frac{\partial}{\partial t} g \end{eqnarray}$ lg
22.04.2014, 22:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe mit manchen symbolen so meine Probleme. Man schaut eine Zeile immer länger an, bis die Symbole verschwimmen und keine Bedeutung mehr haben ... das $\begin{eqnarray} d(\tfrac 1 r) \end{eqnarray}$ ist im ersten Moment seltsam. Aber anscheinend geht es so: $\begin{eqnarray} \frac {\dd }{\dd r}(\tfrac 1 r)=\frac {-1}{r^2} \Rightarrow \dd (\tfrac 1 r )= \frac {-1}{r^2}\dd r \quad \text{ mit} ~ \dd r = \begin{pmatrix} \frac { \partial r}{ \partial x} \\ \frac { \partial r}{ \partial y} \\ \frac { \partial r}{ \partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \\ \dd z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kämen ich auf $\begin{eqnarray} \dd (\tfrac 1 r) =-\frac {1}{r^2} \begin{pmatrix} \frac { \partial r}{ \partial x} \\ \frac { \partial r}{ \partial y} \\ \frac { \partial r}{ \partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \\ \dd z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \dd (\tfrac 1 r) =-\frac {1}{x^2+y^2+z^2} \begin{pmatrix} \frac { \partial r}{ \partial x} \\ \frac { \partial r}{ \partial y} \\ \frac { \partial r}{ \partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \\ \dd z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
23.04.2014, 20:30	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
oder ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \dd (\tfrac 1 r) =\frac { x \dd x + y \dd y + z \dd z }{(x^2+y^2+z^2)^{\tfrac 52}} \end{eqnarray}$
23.04.2014, 22:42	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, denke so sollte das aussehen. lg
27.04.2014, 19:05	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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