Matrix - Untergruppe

21.04.2014, 23:01

akamanston

Matrix - Untergruppe

Hi,
Semester hat begonnen und jetzt dürft ihr mich wieder ertragen Big Laugh

Zwei kleine Aufgaben die ich lösen muss.

Ich soll zeigen, dass die Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\times c\neq 0 \end{eqnarray*}$
eine Untergruppe der $\begin{eqnarray*} GL(2,R) \end{eqnarray*}$ bilden.

Ich weiß, schon was ne Gruppe ist.
- assoziativität
- inverses
- und neutrales element zeigen.

aber sonst hab ich nicht viel ahnung, hoffe mir kann wer helfen?

Frohe ostern noch=)

22.04.2014, 08:24

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn was für eine Untergruppe gelten muss?
Du kannst ähnlich vorgehen wie bei Untervektorräumen: Welche Eigenschaften musst du nachrechnen, um zu zeigen, dann ein Raum ein UVR ist?

22.04.2014, 11:53

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also die drei Kriterien für eine Untergruppe sind wie folgt.
[attach]34002[/attach]
Kann ich nun einfach sagen
U1: neutrales Element ist die Einheitsmatrix.
U2: Zur gegebenen Matrix (ich nenne sie mal A) berechne ich einfach das Inverse A^-1.
U3: Ich bilde eine Fantasiematrix B mit einer 0 unten links und multipliziere A mit B. Wenn die gleiche Form (unten links eine 0) herauskommt, dann ist alles gut.
Nach dieser Untergruppendefinition wäre ich fertig.

Aber ein paar Seiten später folgt eine ähnliche Defintion, names "Untergruppenkriterium". Das unterscheidet sich nur am Ende mit einer Kleinigkeit.
[attach]34003[/attach]
Im Satz steht ich soll a * b^-1 noch machen. In U3 steht jedoch a * b. ist es egal ob ich a mit b oder b^-1 verknüpfe? oder muss ich beides machen. Wieso steht zweiteres schon nicht bei der ersten Untergruppendefinition?
Und was ist mit dein beiden Richtungen gemeint? soll ich da zweimal U1-U3 zeigen? Wo ist da der Sinn?
Bei dem Kriterium(Satz 6.3) verstehe ich auch die Erklärung von U1 und U2 nicht. Bei U1 zeigen Sie das neutrale Element. Reicht es nicht schon wenn ich da einfach sage, dass das neurale Element bei Matrizen die Einheitsmatrix ist? Falls das nicht reicht, ich habe einfach zu A das Inverse A^-1 berechnet und dann A mit A^-1 multipliziert. Dann erhalte ich mein neutrales Element. Aber was das mit der Erläuterung von U1 beim Untergruppenkriterium zu tun hat, wo einfach a=b gesetzt wird, keine Ahnung.

22.04.2014, 17:26

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Die drei Kriterien müssen erfüllt sein, damit eine Untergruppe vorliegt.
Schau dir einmal den Beweis des Untergruppenkriteriums an: Da wird gerade gezeigt, dass wenn $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in U \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} a \circ b^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ gilt auch die Kriterien (U1)-(U3) erfüllt sind. D.h. das Kriterium ist eine weniger aufwendige Möglichkeit, um nachzuweisen, dass eine Untergruppe vorliegt.

Zitat:

Und was ist mit dein beiden Richtungen gemeint? soll ich da zweimal U1-U3 zeigen? Wo ist da der Sinn?

Das ist der Beweis des Unterraumkriteriums, der Behauptet ja eine Äquivalenz, die bewiesen werden muss.

Du kannst also machen, was dir besser liegt smile

Zitat:

Reicht es nicht schon wenn ich da einfach sage, dass das neurale Element bei Matrizen die Einheitsmatrix ist?

Da ja eine spezielle Untergruppe gegeben ist, kannst du das machen. Also versuchst du, (U1)-(U3) zu zeigen?
(U2) hast du ja anscheinend bereits berechnet.
Für (U3) wählst du einfach zwei beliebige Matrizen aus, die natürlich beide in der Gruppe liegen müssen.

22.04.2014, 17:34

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bijektion D.h. das Kriterium ist eine weniger aufwendige Möglichkeit, um nachzuweisen, dass eine Untergruppe vorliegt.

Also wenn ich schon $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \circ b^{-1} \in U \end{eqnarray*}$
zeige, dann ist automatisch U1-U3 erfüllt. Quasi eine profivariante, um UG zu zeigen.

Aber ich muss wohl die drei einzelnen Kriterien nachweisen. Außerdem habe ich schon alles.:P

Eine Frage noch zur Notation. Wieso wird da immer das "element" Zeichen benutzt? Müsste da nicht "teilmenge" stehen?

Oder is so eine Matrix im Prinzip "ein Element" und deshalb wird es per "element" geschrieben?

Bei der Untergruppe muss aber schreiben, dass es eine Teilmenge der GL.. ist ?

Zitat:

Original von bijektion Für (U3) wählst du einfach zwei beliebige Matrizen aus, die natürlich beide in der Gruppe liegen müssen.

Die Ausgangsmatrix darf ich aber auch benutzen, oder?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 18:14

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sozusagen

Zitat:

Eine Frage noch zur Notation. Wieso wird da immer das "element" Zeichen benutzt? Müsste da nicht "teilmenge" stehen?

Wieso denn Teilmenge? Du hast doch auch gar nicht definiert, wie du Teilmengen von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ miteinander verknüpfen kannst.
Die allgemeine Lineare Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_n(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ , oder in deinem Fall spezieller $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ hat doch als Verknüpfung die Matrixmultiplikation, eine Untergruppe sollte dann die gleiche Verknüpfung nutzen.
Verknüpfungen verknüpfen ja immer Elemente einer Menge zu neuen Elementen, die optimalerweise auch wieder in der Menge liegen, denn dann erhält man so schöne Strukturen wie Gruppen oder Körper smile

EDIT: Ich sehe du nutzt eine andere Notation für die allgemeine Lineare Gruppe- es ist natürlich $\begin{eqnarray*} GL_n(\mathbb{K})=GL(n,\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ smile

22.04.2014, 23:14

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Für (U3) wählst du einfach zwei beliebige Matrizen aus, die natürlich beide in der Gruppe liegen müssen.

Anscheinend hast du meinen edit noch übersehen=)

Zitat:

Die Ausgangsmatrix darf ich aber auch benutzen, oder?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} d & e \\ 0 & f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was genau meinst du mit "in der gruppe liegen" ich denke du meinst damit die gleiche form mit der 0 unten links oder?

23.04.2014, 07:48

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

was genau meinst du mit "in der gruppe liegen" ich denke du meinst damit die gleiche form mit der 0 unten links oder?

Ja, und es muss ja $\begin{eqnarray*} a\cdot c \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Zitat:

Die Ausgangsmatrix darf ich aber auch benutzen, oder?

Was heißt die Ausgangsmatrix? Die Bennung ist ja variabel.

Neue Frage »

Antworten »

Matrix - Untergruppe

Verwandte Themen