Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum

21.04.2014, 23:39

Amplitude

Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum

Ich soll zu einer Matrix ihre Eigenräume bestimmen. Nun wird bei unseren Musterlösungen einfach nur folgendes angegeben zu einem beliebigen Eigenwert. Z.b.

Eig_2(A)=[(vektor(x)]

Ist das aber nicht falsch? Muss es nicht heißen ganz genau

Eig_2(A)={k*(t,2t,t); k,t element IR}

PS. Die 2 bezeichnet den Eigenwert 2

Mir kommt es so vor als ob bei uns einfach k=1 und müh=-1 gewählt wird.

Und was ist überhaupt der Unterschied zwischen Eigenraum/Eigenvektor? Bei Rechnungen wird immer nur dasselbe berechnet, nämlich ker(A-tE)=0.

Editiert: Ich habe es nun so verstanden das der Eigenraum wie folgt bestimmt wird, man setzt die Variablen 1 oder -1. Bei einem doppelten Eigenwert erst -1 und 1. Somit kannd er Eigenraum mehrere Vektoren beinhalten.

Der Eigenvektor ist nur ein Vektor in diesem Raum. So richtig ?

Nochmaliges Editieren: Ich gebe es auf, ich habe keine Ahnung wie man den Eigenraum wählt.

22.04.2014, 08:13

bijektion

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Zitat:

Eig_2(A)=[(vektor(x)]

Ich verstehe deine Schreibweise hier nicht.

EDIT: Es ist in deinem Fall wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} A \in M_{n \times n}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ eine Matrix ist und $\begin{eqnarray*} \lambda _i \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor, dann ist doch der Eigenraum gerade $\begin{eqnarray*} V_{\lambda _i}:=\left\{x \in \mathbb{K}^n | A \cdot x = \lambda _i \cdot x \right\} \end{eqnarray*}$ .

Es geht natürlich auch einfacher: Ist die Matrix diagonalisierbar, bzw. sind spezieller alle Eigenwerte verschieden, so sind die Eigenvektoren linear Unabhhängig und der Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda _i \end{eqnarray*}$ enthält alle vielfachen eines Eigenvektors $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda _i \end{eqnarray*}$ ;
also $\begin{eqnarray*} V_{\lambda _i}:=\left\{r \cdot v_i |r \in \mathbb{K} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und was ist überhaupt der Unterschied zwischen Eigenraum/Eigenvektor? Bei Rechnungen wird immer nur dasselbe berechnet, nämlich ker(A-tE)=0.

Wird es auch, ist $\begin{eqnarray*} V_{\lambda} \end{eqnarray*}$ der Eigenraum, so gilt für jeden Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} v \in V_{\lambda} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du dir aus diesem Eigenraum den "einfachsten" Vektor aussuchen.
Es ist ja klar, dass vielfache von Eigenvektoren wieder Eigenvektoren sind, da die Abbildungen ja linear sind, d.h. mit einem Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ gilt stets $\begin{eqnarray*} A \cdot (r \cdot v)=r \cdot (A \cdot v)=r \cdot (\lambda \cdot v )=\lambda \cdot (r \cdot v ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} r \cdot v \end{eqnarray*}$ auch ein Eigenvektor.

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