Gleitkomma - Formel einer reellen Zahl

22.04.2014, 01:35	JinaKone	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleitkomma - Formel einer reellen Zahl Hallo Zusammen, im folgenden steht eine Formel, welche die Darstellung einer reellen Zahl $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ bzgl. einer Basis B $\begin{eqnarray} (B \geq 2) \end{eqnarray}$ beschreibt. Ich finde im Allgemeinen diese Formeln etwas schwierig zu lesen und weiß nicht genau, ob ich sie richtig interpretiere und benötige eure Unterstützung. Also wie genau lese ich die unten stehende Formel, im Bezug auf Gleitkomma und was besagt die Formel genau? $\begin{eqnarray} <br /> <br /> x = sign B^{n} \sum\limits_{i=1}^\infty x_{-i} B^{-i} <br /> <br /> sign \in \left\{ -1, 1\right\} , x_{-i} \in \left\{ 0,1,...,B-1\right\} , x_{-1} \neq 0 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ und: zu jedem n existiert ein $\begin{eqnarray} i \geq n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{-i} \neq B_{-1} \end{eqnarray}$ 1. Was generell eine Gleitkomma Zahl ist, habe ich verstanden. 2. Die ersten Formel: $\begin{eqnarray} x = sign B^{n} \sum\limits_{i=1}^\infty x_{-i} B^{-i} \end{eqnarray}$ ... würde ich wie folgt lesen: - x ist ja eine reele Zahl (z.B. $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ) - also x = $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ - und es soll dieser reelen Zahl ein sign (Vorzeichen) behaftetes B (Basis) mit Exponent n zugordnet werden? - also zum Beispiel $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \pm 10^{n} \end{eqnarray}$ - dann kommt das Summenzeichen, aber soll jetzt hier ein Multiplikationszeichen zwischen dem ersten Teil und des Summenteils erfolgen? - jedenfalls muss hier zunächst die Summierung von i=1 bis unendlich erfolgen - und zwar die Summierung des Ausdrucks $\begin{eqnarray} x_{-i} B^{-i} \end{eqnarray}$ - also $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ mit bestimmten Index $\begin{eqnarray} -i \end{eqnarray}$ und einer Basis 10 mit bestimmten Exponent $\begin{eqnarray} -i \end{eqnarray}$ - allerdings weiß ich nicht, was das -i für ein Index sein soll, wie kann ich mir das vorstellen bei dem x? 3. Jetzt kommen noch scheinbar die Bedingungen mit folgendem: $\begin{eqnarray} <br /> sign \in \left\{ -1, 1\right\} , x_{-i} \in \left\{ 0,1,...,B-1\right\} , x_{-1} \neq 0 <br /> \end{eqnarray}$ - sign ist Element von -1 oder 1, allerdings weiß ich nicht was das bedeuten soll - $\begin{eqnarray} x_{-i} \end{eqnarray}$ ist Element von "0,1 bis B-1", wieso B-1? - also erstmal was soll der Index -1 darstellen beim x? und wieso darf diese nicht gleich 0 sein? $\begin{eqnarray} i \geq n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{-i} \neq B_{-1} \end{eqnarray}$ - der Index "i" muss größer/gleich der Exponent "n" sein, wenn die reele Zahl an einem bestimmten Index "i" steht, wo die Basis nicht gleich an dem ersten Index steht?, Wie soll ich das verstehen und warum ist das so? Ich hoffe ihr könnt mir helfen und ich kann die nachfolgenden Formeln alleine lösen.
22.04.2014, 11:23	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleitkomma - Formel einer reellen Zahl Hallo, generell hast du die Darstellung $\begin{eqnarray} x = sign \cdot B^{n} \cdot\sum\limits_{i=1}^\infty x_{-i} B^{-i} <br /> <br /> sign \in \left\{ -1, 1\right\} , x_{-i} \in \left\{ 0,1,...,B-1\right\} , x_{-1} \neq 0 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ 1) Das $\begin{eqnarray} sign \in \left\{ -1, 1\right\} \end{eqnarray}$ ist das sogenannte Vorzeichenbit, das dir das Vorzeichen der Zahl angibt (positive Zahlen haben hier eine +1, negative eine -1) 2) Das $\begin{eqnarray} B^n \end{eqnarray}$ ist schlicht und einfach eine Normierungskonstante 3) Die $\begin{eqnarray} x_{-i} \in \left\{ 0,1,...,B-1\right\} \end{eqnarray}$ sind die "Ziffern" der Zahl. Dass die hier einen negativen Index haben ist eher unüblich, ich hätte hier eher einen positiven Index verwendet, ändert aber auch nichts am Prinzip. Wenn du zum Beispiel im Dezimalsystem bist, also B=10, dann liegen diese Ziffern eben im Bereich von 0 bis 9, das ist eben die im Alltagsbereich übliche Zahlendarstellung. Du kannst jede Zahl im Dezimalsystem als eine solche Summe darstellen, indem die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ eben den Ziffern entsprechen. Genauso kannst du bzgl. jeder anderen Basis $\begin{eqnarray} B\geq 2 \end{eqnarray}$ vorgehen. 4) Bleibt anzumerken, dass die Summe im Computer natürlich nicht bis unendlich läuft, sondern eben nur bis zu einem endlichen Index, wobei der Rest dann geeignet gerundet wird.
22.04.2014, 13:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht noch ergänzend zu 3): Die $\begin{eqnarray} x_{-1},x_{-2} \end{eqnarray}$ usw. sind hier in der Darstellung die Nachkommaziffern. D.h., mit einer ebenfalls sehr üblichen Darstellung $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ -adischer Zahlen ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^\infty x_{-i} B^{-i} = [0,{}x_{-1}x_{-2}x_{-3}\ldots ]_B \end{eqnarray}$ die auf das Intervall (0,1) "normalisierte" Zahl - genauer gesagt, auf das Intervall $\begin{eqnarray} \left[ \frac{1}{B},1 \right) \end{eqnarray}$ . Jede Zahl $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ lässt sich nämlich durch Multiplikation mit einem geeigneten $\begin{eqnarray} B^{-n} \end{eqnarray}$ in dieses Intervall bringen. Beispiele im Dezimalsystem $\begin{eqnarray} B=10 \end{eqnarray}$ : (a) $\begin{eqnarray} \pi = 3.14159\ldots = 10^1\cdot 0.314159\ldots \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} x_{-1}=3,x_{-2}=1,x_{-3}=4,\ldots \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} 0.00815 = 10^{-2}\cdot 0.815 \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} n=-2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x_{-1}=8,x_{-2}=1,x_{-3}=5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{-i}=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i\geq 4 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »