Beweis von Körperaxiomen bzw. Rechenregeln

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22.04.2014, 11:51	Gänschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Körperaxiomen bzw. Rechenregeln Hallo ihr Lieben, ich habe folgendes Problem: Ich soll diese Rechenregeln mit Hilfe der Körperaxiome beweisen, weiß aber leider nicht so recht, WIE man dies tut. Ich habe natürlich schon im Internet nachgesehen und auch die "Lösungen" gefunden, aber das bringt mir für die Herangehensweise nichts. a) $\begin{eqnarray} (a^{-1})^{-1} = a \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} (-a)+(-b)= -(a+b) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} a(-b) = -(ab) \end{eqnarray}$ Hier habe ich die Lösungen gefunden: bei Mathe für Nicht Freaks: Reelle Zahlen Körperaxiome (Leider kann ich hier keine URL posten). Bei a) kann ich es teilweise nachvollziehen, aber ich verstehe nicht, warum im zweiten Schritt plötzlich a=x sein soll (auf der Internetseite). Vor allem bei b) ist mir nicht klar, was auf der Internetseite gemacht worden ist. Dort kommt man am Ende ja auf 0, aber ich will ja eigentlich auf -(a+b) kommen. Oder soll das Ganze (-a)+(-b) + (a+b)=0 ergeben und das will ich da zeigen? und bei c) hätte ich jetzt das neutrale Element 1 hinzu addiert und zwar so: $\begin{eqnarray} a(-b)= a(-b1)=a(-1b)=-1(ab) \end{eqnarray*}$ Dabei habe ich dann ja auch Körperaxiome angewandt. Ist das richtig so?? Danke euch!!
22.04.2014, 12:54	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Körperaxiomen bzw. Rechenregeln Bei a kannst du nutzen, daß $\begin{eqnarray} (a^{-1})^{-1} \cdot a^{-1} = 1 = a \cdot a^{-1} \end{eqnarray}$ ist und daß das Inverse eindeutig ist. Bei b kannst du einen ähnlichen Ansatz verfolgen. Bei c mußt du noch begründen, warum $\begin{eqnarray} (-b1) = (-1b) \end{eqnarray}$ ist.
22.04.2014, 13:55	Gänschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also bei c) würde ich an der Stelle dann mit der Kommutativität argumentieren und bei b) löse ich dann mit Hilfe der Körperaxiome soweit auf, bis ich auf 0 komme. Bei a) ist mir das aber jetzt immer noch nicht klar. Ich habe dann $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ hinzu multipliziert, aber darf ich das einfach und was bringt es mir? Ich weiß ja, dass a*x=1 ist, also x=\frac{1}{a} bzw. x= a^{-1} (Laut Vorlesung). Ich komme da nicht weiter, obwohl es ein sehr einfacher Beweis zu sein scheint
22.04.2014, 14:09	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Körperaxiomen bzw. Rechenregeln Was bedeutet denn $\begin{eqnarray} (a^{-1})^{-1} \cdot a^{-1} = 1 = a \cdot a^{-1} \end{eqnarray}$ in Worten? Da steht, daß sowohl a als auch $\begin{eqnarray} (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ ein Inverses von $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ ist. Da aber das Inverse von einem Element eindeutig ist, muß zwangsläufig $\begin{eqnarray} (a^{-1})^{-1} = a \end{eqnarray}$ sein. Bei b frage ich mich, wie du das mit welchen Körperaxiomen auflösen willst. Und bei c sehe ich kein Kommutativgesetz. Mit dem Kommutativgesetz müßte da stehen, daß $\begin{eqnarray} (-b) 1 = 1 * (-b) \end{eqnarray}$ ist. Du willst aber haben, daß $\begin{eqnarray} (-b)1 = (-1)b \end{eqnarray*}$ ist.
22.04.2014, 16:46	Gänschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dir b) mal angehängt. Bei c) wüsste ich ehrlich gesagt nicht, wie ich da anders argumentieren sollte. Ich habe keine Ahnung.
22.04.2014, 16:53	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
zu c: $\begin{eqnarray} 0 = a \cdot 0 = a \cdot (b + (-b)) = a \cdot b + a \cdot (-b) \end{eqnarray}$ Jetzt mußt du nur noch eine simple Schlußfolgerung ziehen. zu b: ich sehe keinen Anhang.
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22.04.2014, 16:54	Gänschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, es wurde nicht angehängt. Ich meine, dass ich bei b) es so mache: (a+b)+((-a)+(-b)) = (a+b) + ((-b)+(-a)) = (a+((b)+(-b)+(-a)) = a+(0+(-a)) = a+(-a) = 0
22.04.2014, 16:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Auch hier ist dann noch eine simple Schlußfolgerung zu ziehen.
22.04.2014, 17:06	Gänschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe, du bist mir jetzt nicht böse, aber ich weiß noch nicht so ganz, was du mir bei c) sagen möchtest: Soll ich dort auf a(-b)+(ab) kommen? Ist die Schlussfolgerung einfach nur zu sagen, dass die Gleichung stimmt, weil sie 0 ergibt?
22.04.2014, 17:09	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, offensichtlich ist (a+b) das Inverse von ((-a)+(-b)), mithin folgt die Behauptung.
22.04.2014, 17:14	Gänschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das ergibt Sinn. Deswegen erhält man auch am Ende 0, weil es sozusagen "das Negative vom Positiven" ist?
23.04.2014, 09:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, für meinen Geschmack ist das keine klare Begründung, weil sie sich weder auf die Körperaxiome noch auf daraus abgeleiteten Regeln bezieht. Schlicht und ergreifend ist (a+b)+((-a)+(-b)) = 0, weil das deine Rechnung unter Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz ergeben hat. Es sind also sowohl -(a+b) als auch (-a)+(-b) Inverse von (a+b), woraus aufgrund der Eindeutigkeit des Inversen die Behauptung folgt.
23.04.2014, 11:27	Gänschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das habe ich jetzt verstanden Vielen Dank für deine Hilfe, Klarsoweit!!

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