Zwei-dimensionale Zufallsvariablen: Verteilung identifizieren

22.04.2014, 11:57

SamJ

Zwei-dimensionale Zufallsvariablen: Verteilung identifizieren

Meine Frage:
Hallo Matheboardler,

ich befasse mich mit einer (vmtl. einfachen) Aufgabe aus meiner ersten Stochastik-Vorlesung. Es geht hierbei um Zwei-Dimensionale Zufallsvariablen. Das ist die Aufgabe:

Mit einem vollsymmetrischen Würfel werde ein Wurf ausgeführt. Für eine ungerade Augenzahl hat die Zufallsvariable X den Wert "0" und für gerade den Wert "1". Die Zufallsvariable Y sei "0" für eine niedrige (1,2 oder 3) und "1" für eine hohe (4,5 oder 6) Augenzahl.

Wie lautet die Verteilung von X bzw. von Y, sowie die Verbund-Verteilung für (X, Y )?

Meine Ideen:
In unserer Vorlesung haben wir eine Verteilung wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} X: \, \text{diskrete Zufallsvariable} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(i) = P(X =i),\quad i = 0,1, \dots, X_{max} \end{eqnarray*}$

Deshalb habe ich folgendes vermutet (mit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ = Einzelereignis):

$\begin{eqnarray*} X(\omega) = \begin{cases}0 & \text{für } \omega \in \{1,3,5\}\\ 1 & \text{für } \omega \in \{2,4,6\} \end{cases}\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y(\omega) = \begin{cases}0 & \text{für } \omega \textless 3 \\ 1 & \text{für } \omega \ge 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und für die Verteilung gilt dann:
$\begin{eqnarray*} X(i) = P(x=i),\quad i=0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y(i) = P(y=i),\quad i=0,1\\ \end{eqnarray*}$

Allerdings erscheint mir das alles nicht so richtig (weswegen ich die Verbundverteilung zunächst außer Acht gelassen habe). Bitte helft mir die Veteilung zu identifizieren!

Vielen Dank!

22.04.2014, 13:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es wenig zu "identifizieren", diese gemeinsame Verteilung (oder wie du sagst Verbundverteilung) ist schlicht auszurechnen: Es geht da um die vier Werte

$\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=1,Y=0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=1,Y=1) \end{eqnarray*}$

Einfach für jede der sechs Augenzahlen überlegen, zu welcher der vier Kombinationen sie gehört, und damit dann die entsprechenden vier Laplacewahrscheinlichkeiten ausrechnen - schon hast du die gemeinsame Verteilung.

Zitat:

Original von SamJ
$\begin{eqnarray*} X(i) = P(x=i),\quad i=0,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y(i) = P(y=i),\quad i=0,1\\ \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug, es gibt gar kein X(0), dafür aber X(2)...X(6). Anscheinend verwechselst du hier Argument $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (Elementarereignis) mit Funktionswert $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße.

Zitat:

Original von SamJ
$\begin{eqnarray*} Y(\omega) = \begin{cases}0 & \text{für } \omega \textless 3 \\ 1 & \text{für } \omega \geq 3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Unaufmerksam im Lesen oder aber Aufschreiben: Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} Y(\omega) = \begin{cases}0 & \text{für } \omega \leq 3 \\ 1 & \text{für } \omega \geq 4 \end{cases} \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 13:39

SamJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort, HAL 9000!

Zitat:

Original von HAL 9000
Das ist Unfug, es gibt gar kein X(0), dafür aber X(2)...X(6). Anscheinend verwechselst du hier Argument $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (Elementarereignis) mit Funktionswert $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße.

Somit wäre die Verteilung wie folgt zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} x(i) = P(X = i), \quad i = 1, 2,\dots, 5, 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(i) = P(Y = i), \quad i = 1, 2,\dots, 5, 6 \end{eqnarray*}$

Ich bin in der Tat davon ausgegangen, dass sich hinter dem $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ der Funktionswert verbirgt, den die Zufallsvariable annehmen kann.

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=1,Y=0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=1,Y=1) \end{eqnarray*}$

Dieser Teil erschließt sich mir leider nicht, insbesondere der Term $\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=0) \end{eqnarray*}$ .

Diesen kann ich auf zwei Arten lesen
1) Wenn es P(X=0, Y=0) heißt, muss es doch auch ein X(0) bzw. Y(0) geben?
2) Dieser Term beschreibt das Ereignis, bei dem sowohl die Verteilung von X, als auch Y den Funktionswert gleich 0 einnehmen.

Was ist die korrekte Lesart?

Handelt es sich bei den zu ermittelnden Wahrscheinlichkeiten um die Auftrittswahrscheinlichkeit der Ereignisse? Also:

$\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=0) \quad p = 1/3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=0,Y=1) \quad p = 1/6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=1,Y=0) \quad p = 1/6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=1,Y=1) \quad p = 1/3 \end{eqnarray*}$

oder ist das eher so zu interpretieren:

$\begin{eqnarray*} (x,y) (i)= P(X=i, Y=i) = \begin{cases}0 & \text{für } i \in \{1,3\}\\ 1 & \text{für } i \in \{4,6 \} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die weitere Hilfe!

22.04.2014, 14:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SamJ
$\begin{eqnarray*} x(i) = P(X = i), \quad i = 1, 2,\dots, 5, 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(i) = P(Y = i), \quad i = 1, 2,\dots, 5, 6 \end{eqnarray*}$

Anscheinend war ich nicht deutlich genug: Das ganze $\begin{eqnarray*} x(i)=P(X=i) \end{eqnarray*}$ ist Unfug!!!

Es ist DEINE Bezeichnung von oben: $\begin{eqnarray*} X(i) \end{eqnarray*}$ kennzeichnet den Wert der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ für das Elementareignis $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Dabei kann $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ aus dem Bereich 1,2,3,4,5,6 stammen.

Als Werte kommen aber nur 0 oder 1 in Frage, und genau daraum geht es bei $\begin{eqnarray*} P(X=i) \end{eqnarray*}$ . Genau genommen ist letztere nämlich eine abkürzende Schreibweise von

$\begin{eqnarray*} P\left( \left\{\omega\in\Omega \bigm| X(\omega)=i \right\} \right) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. das Ereignis $\begin{eqnarray*} [X=i] \end{eqnarray*}$ umfasst diejenigen Augenzahlen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} X(\omega)=i \end{eqnarray*}$ gilt.

Sieht so aus, als gibt es massive Lücken in den Grundlagen, dass Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Abbildungen sind von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ usw. Andernfalls kann ich mir nicht erklären, wie du auf solche seltsamen Zeilen wie oben kommst.

Neue Frage »

Antworten »

Zwei-dimensionale Zufallsvariablen: Verteilung identifizieren

Verwandte Themen