Niveaulinien und Funktion skizzieren

22.04.2014, 14:30	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Niveaulinien und Funktion skizzieren Meine Frage: Ich muss zu folgender Funktion den Graph und die Niveaulinien einzeichnen: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{x^2+4y^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\in \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun ich habe mal nach y umgestellt und erhalte: $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{c^2-x^2}{4} } \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt, um die Niveaulinien einzuzeichnen, einfach für irgendwelche C's jeweils x-Werte eingeben, wie z.B. c=-2 dann für x=-1,0,1 etc., erhalte dann Werte für y und danach einzeichnen? (Hatten dies nocht nicht genau in der Vorlesung betrachtet). Meiner Überlegungen nach kommt dabei eine Ellipse raus. Und wie sieht die Funktion selber aus? Muss ich dafür das c mit 1 ersetzen? Es scheint eine sehr einfache Aufgabe zu sein, doch mir fehlt leider die Grundlage, die wir noch nicht ganz erarbeitet haben. Hoffe, jemand kann mir da weiterhelfen.
22.04.2014, 14:55	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Funktion f(x,y) als die Temperaturverteilung auf der xy-Ebene interpretieren. Es ist günstig, folgende elliptischen Koordinaten einzuführen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2R\cdot \cos(\phi) \\ R\cdot \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Einsetzen ergibt die Temepraturverteilung $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{4R^2\cos^2(\phi)+4R^2\cdot \sin^2(\phi)}=2R \end{eqnarray}$ Das bedeutet folgendes: Die Temperatur hat entlang derjenigen Kurven (=Niveaulinien) den konstanten Wert 2R, auf denen R konstant ist, wobei der Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ beliebige Werte im Intervall [0°;360°] annehmen kann. Welche Kurven ergeben sich also, wenn man in der obigen Koordinatentransformation für R einen beliebigen aber konstanten Wert einsetzt und den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ laufen lässt? Kreise ergeben sich nicht, aber etwas ähnliches.
22.04.2014, 15:10	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine schnelle Antwort! Nun, ich finde es ein bisschen schwer, wie ich mir das vorstellen soll. Also meinst du, man soll für R=10 (Beispiel) einsetzen und die Winkel jeweils verändern und dabei sehen, was für eine Funktion/Kurve entsteht? Also was jeweils für x und für y dabei raus kommt. Hoffe, habe es richtig verstanden
23.04.2014, 09:25	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgmeine Gleichung einer Ellipse lautet bekanntlich $\begin{eqnarray} 1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \end{eqnarray}$ Dabei sind a, b die Halbachsen der Ellipse. Auf diese Form kann man deine Funktion $\begin{eqnarray} f=\sqrt{x^2+4y^2} \end{eqnarray}$ bringen: $\begin{eqnarray} 1=\frac{x^2}{f^2}+\frac{y^2}{\left (\frac{f}{2}\right )^2} \end{eqnarray}$ Die Niveaulinien sind also Ellipsen mit den beiden Halbachsen a=f und b=f/2. Interpretiert man die Größe f(x,y) als Temperaturverteilung auf der xy-Ebene, so hat die Temperatur auf einer beliebigen aber festen Ellipse mit den Halbachsen a=f und b=f/2 den konstanten Wert f. Mit zunehmender Ellipsen-Größe nimmt die Temperatur f also zu. Man kann die Ellipsengleichung auch in Polarkoordinaten angeben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f\cdot \cos(\phi) \\ \tfrac{f}{2}\cdot \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei ist der Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ der Kurvenparameter entlang der Ellipse. Einsetzen in die 2.Gleichung zeigt, dass diese tatsächlich erfüllt ist.
23.04.2014, 14:50	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt, danke! Verstehe das Ganze jetzt besser
23.04.2014, 14:54	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von Veysel1990 Perfekt, danke! Verstehe das Ganze jetzt besser
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