Exponentialgleichung mit e durch ln auflösen

22.04.2014, 16:23

Alex0204

Exponentialgleichung mit e durch ln auflösen

Hallo Matheboardteam,

ich rechne schon seit einer ganzen Weile diverse wilde Übungsaufgaben zu den Wurzel-, Exponential- und Logarithmusgesetzen und dachte eigentlich alles verstanden zu haben, bis ich auf diese Aufgabe gestoßen bin und die Logik eines Lösungsschrittes einfach nicht nachvollziehen kann. Nun zur Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} e^{-2x+2} = 4 \end{eqnarray*}$ -> ich faktorisiere die Summe aus dem Exponenten in

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} * e^{2} = 4 \end{eqnarray*}$ -> So richtig? Bitte keine Diskussion ob das hier Sinn macht. Ich kann sonst die Frage nicht stellen.

Nun benutzte ich den Logarithmus naturalis und kam hier hin

$\begin{eqnarray*} ln(e^{-2x}) * ln(e^{2}) = ln(4) \end{eqnarray*}$ -> Bei diesem Schritt muss irgendwo der Fehler liegen, da ich, wenn ich in den linken Term für x eine Zahl einsetze und dieselbe Zahl im Rechenschritt davor in den linken Term einsetze, unterschiedliche Ergebnisse erhalte.

Jedenfalls wäre der nächste Schritt bei mir dann:

$\begin{eqnarray*} -2x * 2 = ln(4) \end{eqnarray*}$ -> ln(e) hebt sich auf und es bleibt lediglich der Exponent stehen. Hier merke ich jedoch schon, dass ich ein anderes Ergebnis erhalte, wie wenn ich direkt den Logarithmus naturalis benutzt hätte da dann nämlich

$\begin{eqnarray*} -2x + 2 = ln(4) \end{eqnarray*}$
dort stehen würde.

Habt ihr vielleicht einen Tipp, was ich hier falsch mache bzw. wo ich etwas nicht verstanden habe? Ich merke ja selbst, dass ich unterschiedliche Ergebnisse erziele, je nachdem wann ich LN benutze. Allerdings bin ich mir auch sicher, dass ich das Exponentialgesetz richtig angewandt habe.

Vielen Dank für Eure Hilfe!

22.04.2014, 16:30

Bürgi

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RE: Exponentialgleichung mit e durch ln auflösen
Hallo,

Du hast völlig Recht, wenn Du meinst, dass Du den Logarithmus falsch angewendet hast.

Wende doch den Logarithmus auf die Originalgleichung an.

$\begin{eqnarray*} \ln\left(e^{-2x+2} \right)= \ln(4) \end{eqnarray*}$

Du siehst, Deine letzte Gleichung ist richtig. Berechne x.

23.04.2014, 08:06

Alex0204

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RE: Exponentialgleichung mit e durch ln auflösen

Zitat:

Original von Bürgi
Hallo,

Du hast völlig Recht, wenn Du meinst, dass Du den Logarithmus falsch angewendet hast.

Was meinst du konkret falsch angewendet? Wie wird denn der Logarithmus auf ein Produkt angewandt? Bei den Logarithmusgesetzen steht dazu nichts außer, dass eine Summe innerhalb EINES Logarithmus in ein Produkt zweier Logarithmen umgewandelt werden kann.

23.04.2014, 08:38

Bürgi

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RE: Exponentialgleichung mit e durch ln auflösen
Guten Morgen

Zitat:

Nun benutzte ich den Logarithmus naturalis und kam hier hin $\begin{eqnarray*} ln(e^{-2x}) * ln(e^{2}) = ln(4) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch: Der Logarithmus eines Produktes aus zwei Faktoren ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

D.h.:

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} * e^{2} = 4~\xrightarrow{\text{ln anwenden}}~\ln(e^{-2x} * e^{2})=\ln(4)~\xrightarrow{\text{log-Gesetze anwenden}}~\ln(e^{-2x}) \color{red}+\color{black} \ln(e^2) = \ln(4) \\ \xrightarrow{\text{vereinfachen}}~-2x+2=\ln(4) \end{eqnarray*}$

23.04.2014, 08:40

Alex0204

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Guten Morgen natürlich smile

Die Höflichkeit soll wirklich nicht zu kurz kommen.

Alles klar, jetzt hab ichs verstanden. Vielen Dank dir! smile

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