Koordinaten im R3 bestimmen

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22.04.2014, 17:47	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten im R3 bestimmen Meine Frage: Hi zusammen, eine Frage zur Koordinatenbestimmung im R3. Es handelt sich um eine Pyramide. Angenommen ich habe jetzt die Punkte A, B und C gegeben und der Punkt S ist gesucht. Wie würde ich diesen herausfinden? (Punkte in meinem Fall nicht vorgegeben, dürfen gerne frei gewählt werden) Meine Ideen: Ich hab mir jetzt als Erstes einmal eine Skizze zur besseren Vorstellung gemacht. Wäre es hilfreich einen 0-Vektor einzuzeichnen? Vielen Dank für Eure Hilfe :-) PS: Ich sollte das Bild vielleicht auch einfügen ;-)
22.04.2014, 18:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich gehe mal davon aus, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt und S direkt über dem Schwerpunkt der Grundfläche (Dreieck) liegt. $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OS} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right) \end{eqnarray}$ Der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OS} \end{eqnarray}$ gibt dann die Koordinaten des Schwerpunktes an. Dann müsste man noch im Punkt S ein Lot auf die Ebene des Dreiecks fällen. Irgendwo auf diesem Lot wäre dann S. Mehr fällt mir jetzt dazu auch nicht ein. Wenn jemand noch eine Idee hat, gerne. Grüße.
23.04.2014, 10:25	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das ist ein interessanter Lösungsweg :-) Dann wäre es bei einem Tetraeder wahrscheinlich genauso, nur das der Vorfaktor 1/6 ist?
23.04.2014, 14:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Aufgabe ist nicht präzise gestellt. Schon Kasen75 hat ja zusätzliche Annahmen gemacht. Sind die überhaupt in deinem Sinn? Jedenfalls erzeugt jeder (!) Punkt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , der nicht in der Ebene des Dreiecks $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ liegt, mit $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ zusammen eine dreiseitige Pyramide, ein sogenanntes Tetraeder. Ohne weitere Angaben, die $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ eingrenzen, ist $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ nicht bestimmbar. Denkbar wäre, wie Kasen75 es getan hat, von einem gleichseitigen Dreieck $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ auszugehen und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ senkrecht über dem Schwerpunkt von $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ anzusetzen. Dadurch entsteht eine regelmäßige Pyramide, die Kanten $\begin{eqnarray} SA,SB,SC \end{eqnarray}$ sind dann gleichlang. Wenn sie auch noch die Länge der Seiten von $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ besitzen, entsteht eine besonders regelmäßige Figur, ein reguläres Tetraeder. Aber wenn du jetzt plötzlich von einem Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ sprichst, kommt mir ein ganz anderer Gedanke. Geht es dir etwa gar nicht um den Punkt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , sondern um die Volumenformel für ein Tetraeder? Wie auch immer. Du solltest jetzt einmal genau sagen, was du eigentlich willst.
23.04.2014, 15:18	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Frage eher auf das allgemeine Vorgehen bezogen, aber ich sehe, dass ich hier einen Fehler damit gemacht hab Jetzt habe ich einmal eine konkrete Abituraufgabe herausgesucht, welche sich im Anhang befindet :-)
23.04.2014, 15:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ die Mitte der Seite $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Was ist dann mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{LM} \end{eqnarray}$ besonderes? Zeichne dir eine Skizze mit einem Rechteck in unverzerrter Darstellung.
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23.04.2014, 15:37	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Strecke AB ansehe und den Mittelpunkt daraus als L sehe, dann sieht es aus, als ob M senkrecht drauf stehen würde (also genau über L) ?
23.04.2014, 15:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte gleich abgewöhnen: Punkte "stehen" niemals "senkrecht". Für das Senkrecht-Stehen braucht man immer Strecken, Geraden oder Vektoren. Richtig ist, daß der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{LM} \end{eqnarray}$ senkrecht steht auf ... ? Ja, worauf? Und was gilt weiter noch?
23.04.2014, 16:08	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht senkrecht auf dem Vektor AB ? Noch eine Frage zu L ; Dies ist einfach eine Annahme von dir?
23.04.2014, 16:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Punkte $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ sind gegeben. Also kann man $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ aus ihnen errechnen. Der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{LM} \end{eqnarray}$ steht nun senkrecht auf dem Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray}$ . Das hast du richtig erkannt. Es folgt einfach aus den Symmetrieeigenschaften eines Rechtecks. Da $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und inzwischen auch $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ bekannte Punkte sind, kann der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{LM} \end{eqnarray}$ in seinen Koordinaten ermittelt werden. Aber $\begin{eqnarray} \overrightarrow{LM} \end{eqnarray}$ hat noch andere interessante Eigenschaften. Vergleiche ihn mit anderen Vektoren der Figur.

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