Integral Bogenlänge (explizit)

22.04.2014, 18:39

Mud91

Integral Bogenlänge (explizit)

Hallo, komme bei einer Aufgabe nicht weiter und zwar:

soll ich die Länge von $\begin{eqnarray*} y(x) = 2x^2 ,(0,2) \end{eqnarray*}$ berechnen.
Die Formel für die Bogenlänge Lautet ja:

$\begin{eqnarray*} L = \int_a^b \! \sqrt[]{y(x)'^2 +1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \int_0^2 \! \sqrt[]{16x^2 +1} \, dx \end{eqnarray*}$

komme hier nicht weiter habe mit der Binomischen Formel und Integraltafel versucht. verwirrt

22.04.2014, 19:09

Mulder

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RE: Integral Bogenlänge (explizit)
Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{4} \sinh(t) \end{eqnarray*}$ hilft weiter.

22.04.2014, 19:38

Mud91

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RE: Integral Bogenlänge (explizit)
Danke dir, Also so weit komme ich:

$\begin{eqnarray*} L = \int_0^2 \! \sqrt{4sinh(t)^2 +1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \int_0^2 \! \sqrt{4cosh(t)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L = \int_0^2 \! 2cosh(t) \, dx \end{eqnarray*}$

Weiter weis ich aber nicht wegen dem t und vor allem warum $\begin{eqnarray*} 1/4sinh(t) \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 20:08

HAL 9000

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Da ist ja so einiges schiefgegangen bzw. noch nicht fertig gerechnet: Es ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{16x^2+1} = \sqrt{16\cdot \frac{1}{16}\sinh^2(t)+1} = \sqrt{\sinh^2(t)+1} = \cosh(t) \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \dd x = \frac{1}{4}\cosh(t)~ \dd t \end{eqnarray*}$ , damit du die Substitution auch wirklich komplettierst - und bitte auch nicht vergessen, die Grenzen mit zu substituieren!

22.04.2014, 20:23

Mud91

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Jetzt bin ich etwas verwirrt.

du hast jetzt für $\begin{eqnarray*} x =\frac{1}{16} sinh(t) \end{eqnarray*}$ eingesetzt, dann hab ich jetzt für
$\begin{eqnarray*} L = \int_0^2 \! cosh(t) \, dt \end{eqnarray*}$ wozu also die 1/4

23.04.2014, 07:44

HAL 9000

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Potenzgesetze vergessen???

Zitat:

Original von Mud91
du hast jetzt für $\begin{eqnarray*} x =\frac{1}{16} sinh(t) \end{eqnarray*}$ eingesetzt

Hab ich NICHT!!! Forum Kloppe

Also mal ganz, ganz langsam: Es ist

$\begin{eqnarray*} x^2 = \left( \frac{1}{4} \sinh(t) \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \cdot \left( \sinh(t) \right)^2 = \frac{1}{16} \cdot \sinh^2(t) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mud91
wozu also die 1/4

Eigentlich sollte man das sehen, wenn man mal ein bisschen über den Rechengang nachdenkt. unglücklich

Hintergrundgedanke dieser Substitution ist, durch Nutzung von $\begin{eqnarray*} 1+\sinh^2(t)=\cosh^2(t) \end{eqnarray*}$ ein vollständiges Quadrat unter der Wurzel zu erzeugen, was dann ja mit $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4}\sinh(t) \end{eqnarray*}$ klappt - siehe oben.

Wenn du nur $\begin{eqnarray*} x=\sinh(t) \end{eqnarray*}$ substituierst, dann steht unter der Wurzel

$\begin{eqnarray*} 16x^2+1 = 16\sinh^2(t)+1 \end{eqnarray*}$

und da hast du gar nix gekonnt: Das kannst du allenfalls in $\begin{eqnarray*} 15\sinh^2(t)+\cosh^2(t) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 16\cosh^2(t)-15 \end{eqnarray*}$ umwandeln, was nichts bringt.

Zitat:

Original von Mud91
dann hab ich jetzt für
$\begin{eqnarray*} L = \int_0^2 \! cosh(t) \, dt \end{eqnarray*}$ wozu also die 1/4

Der nächste grobe Unfug - liest du dir überhaupt durch, was ich schreibe? Dabei hatte ich mit dem $\begin{eqnarray*} \dd x = \frac{1}{4}\cosh(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ schon alles haarklein vorbereitet. unglücklich

$\begin{eqnarray*} L = \int\limits_0^2 \sqrt{16x^2 +1} ~ \dd x = \int\limits_0^{\operatorname{arsinh}(8)} \cosh(t)\cdot \frac{1}{4}\cosh(t) ~ \dd t = \frac{1}{4} \int\limits_0^{\operatorname{arsinh}(8)} \cosh^2(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Scheint fast schon selbstverständlich, dass du die Anmerkung "und bitte auch nicht vergessen, die Grenzen mit zu substituieren!" ebenfalls ignoriert hast. Für mich ist hier jedenfalls Schluss. Wink

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