rang(X)=k, dann X^TX bijektiv

22.04.2014, 17:17	alifant	Auf diesen Beitrag antworten »
rang(X)=k, dann X^TX bijektiv Meine Frage: Zeige: Ist Rang(X)=k, dann ist $\begin{eqnarray} X^TX \end{eqnarray}$ bijektiv. Meine Ideen: Hallo, also erstmal muss ich dazu sagen, dass $X$ eine kxk-Matrix mit reellen Einträgen sein soll. Und dann ist mit der Bijektivität der kxk-Matrix $\begin{eqnarray} X^TX \end{eqnarray}$ wohl die Bijektivität der linearen Abbildung gemeint, die durch diese Matrix ausgedrückt wird? Beweis: Angenommen, $\begin{eqnarray} X^TX \end{eqnarray}$ ist nicht bijektiv, dann ist sie nicht surjektiv und/oder nicht injektiv. Da hier Injektivität und Surjektivität wegen der endlichen Dimensionalität äquivalent sind, gibt es dann ein $\begin{eqnarray} 0\neq z\in\mathbb{R}^k \end{eqnarray}$ , s.d. $\begin{eqnarray} X^TXz=0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} z^TX^TXz=\lVert Xz\rVert^2=0 \end{eqnarray}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray} Xz=0 \end{eqnarray}$ . Dann sind aber die K Spalten von X linear abhängig, also rang(X) ungleich k. Widerspruch. Ok?
23.04.2014, 09:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
oder so : $\begin{eqnarray} rg(X^T)=rg(X)=k\Rightarrow X^T,X\in GL_k(\mathbb R)\Rightarrow X^TX\in GL_k(\mathbb R) \end{eqnarray}$

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