Fourierkoeffizienten mit Konstante abschätzen

22.04.2014, 20:54

Kääsee

Fourierkoeffizienten mit Konstante abschätzen

Guten Abend,
hier noch eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \mapsto \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodische und stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Es gibt eine Konstante C>0, sodass für die Fourierkoeffiezienten von f gilt:

$\begin{eqnarray*} \left |\hat f_k \right |=\frac{C}{|k|} \forall k\in\mathbb Z \setminus{0} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} |\hat f_k|=\left|\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \! f(x)e^{-ikx} \, dx \right| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi}\left|\int_0^{2\pi} \! f(x)e^{-ikx} \, dx \right| \end{eqnarray*}$
mit partieller Integration:
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi}\left|\left[f(x)\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi} \! f'(x)\frac{e^{-ikx}}{-ik} \, dx \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi|ik|}\left|\left[f(x)e^{-ikx}\right]_0^{2\pi}+\int_0^{2\pi} \! f'(x)\frac{e^{-ikx}}{-ik} \, dx \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi|ik|}\left|f(x)-f(x)+\int_0^{2\pi} \! f'(x)e^{-ikx} \, dx \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2\pi|ik|}\left|\int_0^{2\pi} \! f'(x)e^{-ikx} \, dx \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq\frac{1}{2\pi|ik|}\int_0^{2\pi} \! \left|f'(x)e^{-ikx} \right|\, dx \end{eqnarray*}$

So, und jetzt komm stecke ich fest. Ich muss das Integral noch irgendwie abschätzen bzw zeigen, dass es konstant ist. Der Faktor davor sieht ja schon mal gut aus, denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi|i|} \end{eqnarray*}$ ist ja konstant und das |k| brauch ich ja im Nenner.
Aber sonst... :/ Kann mir jemand weiterhelfen? Nochmal partielle Integration?
LG

22.04.2014, 21:06

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RE: Fourierkoeffizienten mit Konstante abschätzen
f ist stetig differenzierbar, wir sind auf einer kompakten Menge...

22.04.2014, 21:10

Kääsee

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d.h. f'(x) nimmt ihr Maximum auf dem Intervall an? verwirrt

22.04.2014, 21:12

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nicht nur das Maximum

22.04.2014, 21:21

Kääsee

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auch das Minimum.
Das heißt ja dann, f'(x) befindet sich immer zwischen diesen beiden Werten ist also betragsmäßig kleiner als eine Konstante?
Und was mache ich mit der Exponentialfunktion?

22.04.2014, 21:28

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In der Tat, eine stetig Funktion ist auf einer kompakten Menge beschränkt smile

Das kannst du für Exponentialfunktion auch beherzigen oder dich gleich erinnern, welchen Wert $\begin{eqnarray*} |e^{it}| \end{eqnarray*}$ für reelles t immer hat

22.04.2014, 21:36

Kääsee

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Ah, ja sicher, die Exponentialfunktion ist ja allein durch die Definition durch Sinus und Kosinus (die ja durch -1 und 1 beschränkt sind) beschränkt Gott

Danke!

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Fourierkoeffizienten mit Konstante abschätzen

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