Fehler im Beweis von Cayley Hamilton

23.04.2014, 11:32	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler im Beweis von Cayley Hamilton Hi, aus der Vorlesung der Satz von Cayley-Hamilton: Jeder Endomorphismus $\begin{eqnarray} \alpha : V -> V \end{eqnarray}$ eines n-dimensionalen K-Vektorraumes genügt seiner eigenen charakteristischen Gleichung, das heißt: $\begin{eqnarray} f(\alpha) = 0 \end{eqnarray}$ in End(V) für $\begin{eqnarray} f = Charpol (\alpha) \in K[X] \end{eqnarray}$ . Aufgabe: Finden Sie den Fehler in dem folgenden Beweisvorschlag für den Satz von Cayley-Hamilton und diskutieren Sie, wie man den Beweis korrigieren könnte. Sei $\begin{eqnarray} A \in Mat_{n}(K) \end{eqnarray}$ eine quadratische Matrix über einem Körper K und $\begin{eqnarray} f = Charpol (A) \end{eqnarray}$ das charakteristische Polynom. Dann gilt $\begin{eqnarray} f = det(XID - A) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f(A) = (det(XID - A))(A) = det(AID - A) = det(A-A) = det(0) = 0 \end{eqnarray*}$ Also rein rechnerisch kann ich keinen Fehler entdecken. Stimmt vielleicht etwas nicht mit den Annahmen? Müsste man nicht noch dazu sagen, dass A die Abbildungsmatrix eines Endomorphismus ist. Denn wenn es kein Endomorphismus ist, kann es doch keinen Einsetzungshomomorphismus geben, sodass man die Matrix A für die Unbestimmte X einsetzen darf. Ich wäre für Hilfe dankbar.
23.04.2014, 11:45	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Versuch mal den "Beweis" sauber aufzuschreiben. Der problematische Teil ist hier durch sehr vage Notation verschleiert.

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