Transformation des orthogonalen Komplements

23.04.2014, 12:45	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation des orthogonalen Komplements Meine Frage: Sei A eine NxN Matrix und V ein linearer Unterraum von R^n. Zeigen Sie folgendes: $\begin{eqnarray} V^\perp\cdot (A^-1)^t=(A\cdot V)^\perp \end{eqnarray}$ V sei die Ebene in R^3, definiert durch 2x-y+6z=0, und $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch welche Ebenengleichung wird die Ebene AV beschrieben Meine Ideen:* Also zuerst habe ich das orthogonale Komplement zu V herausgefunden, nämlich: $\begin{eqnarray} V^\perp\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , danach mit der inversen der transponierten Matrix A multipliziert und dabei dies erhalten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1/3 \\ 12 \\ -5/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich vergeblich versucht die linke Seite auf dasselbe Ergebnis zu bekommen, leider ohne Erfolg. Deshalb wollte ich euch fragen, wo mein Fehler liegt: Ich habe auf der linken Seite die Matrix A mit V multipliziert und dabei erhalten: $\begin{eqnarray} AV=\begin{pmatrix} -16 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und danach das orth. Komplement genommen: $\begin{eqnarray} (A^-1)^t=\begin{pmatrix} -1 \\ 20 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Doch das ist nicht dasselbe wie die andere Lösung. Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ich einen Fehler begangen habe?

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