Integral auf Fehlerfunktion zurückführen

23.04.2014, 14:52

guestyzx

Integral auf Fehlerfunktion zurückführen

Hallo!

Für ein Übungsblatt habe ich folgendes Integral gebraucht:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty x^{3/2} \exp (-x)\,\dd x = 3 \sqrt \pi / 4 \end{eqnarray*}$

Die Herleitung ist nicht weiter wichtig, daher habe ich einfach WolframAlpha gefragt (es ist ja nur ein Experimentalphysik-Übungsblatt), aber mich würde trotzdem interessieren, wie man darauf kommt. Ich vermute, es gibt eine Möglichkeit, dieses auf die Error-Function zurückzuführen, aber ich sehe nicht, wie. Ich weiß, dass es gleich diesem Integral ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty 2 x^2 \exp (- x^2)\,\dd x \end{eqnarray*}$

Das hilft aber auch nicht wirklich weiter. Hat jemand eine Idee, was man hier machen kann? Irgendeine Substitution? Ich habe schon probiert, x^b für irgendein b im obigen Integral zu substituieren, doch ich fand, dass nur b=1/2 und b=5/2 hilfreich aussieht, das Ergebnis habe ich ja gerade hingeschrieben... Eine Möglichkeit wäre noch dieses:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac 2 5 \exp (- x^{5/2}). \end{eqnarray*}$

Ich sehe aber nicht, dass das hilfreich ist...

Ich wäre für jede Anregung dankbar!

23.04.2014, 15:02

HAL 9000

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RE: Integral auf Fehlerfunktion zurückführen

Zitat:

Original von guestyzx
Ich vermute, es gibt eine Möglichkeit, dieses auf die Error-Function zurückzuführen

Wenn dir die geläufig ist, aber bitte: Zunächst partiell integrieren mit $\begin{eqnarray*} u=x^{\frac{3}{2}},v'=\exp(-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^\infty x^{\frac{3}{2}} \exp(-x) ~ \dd x = \left[ -x^{\frac{3}{2}} \exp(-x) \right]_{x=0}^{\infty} + \frac{3}{2} \int\limits_0^\infty x^{\frac{1}{2}} \exp(-x) ~ \dd x = \frac{3}{2} \int\limits_0^\infty x^{\frac{1}{2}} \exp(-x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Nochmal partiell integrieren, diesmal mit $\begin{eqnarray*} u=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}},v'=\exp(-x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \ldots = \left[ -\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \exp(-x) \right]_{x=0}^{\infty} + \frac{3}{4} \int\limits_0^\infty x^{-\frac{1}{2}} \exp(-x) ~ \dd x = \frac{3}{4} \int\limits_0^\infty x^{-\frac{1}{2}} \exp(-x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Und nun $\begin{eqnarray*} x=z^2 \end{eqnarray*}$ substitutieren, dann hast du die Gaußsche Fehlerfunktion dastehen. Augenzwinkern

23.04.2014, 22:58

guestyzx

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Jetzt, wo es da steht, kommt es mir offensichtlich vor... Irgendwie hatte ich ausgeschlossen, dass partielle Integration hilfreich ist, weil diese ja den Exponenten immer um 1 herabsetzt. Aber ich habe natürlich nicht bedacht, dass ich noch eine +1/2 von der Substitution bekomme.

Vielen Dank dir!

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