Extremwertaufgaben (Rechteck + Halbkreis)

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XB360 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben (Rechteck + Halbkreis)
Hallo

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Ein Fenster soll die Gestalt eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Der Gesamtumfang u beträgt 400 cm. Wie müssen Breite und Gesamthöhe gewählt werden, dass der Flächeninhalt des Fensters maximal wird?

Zielfunktion ist denke ich


Nebenbedingung wäre dann die Umfangsformel:


Sind das die Richtigen Formel?

Die nächsten Schritte wären ja dann die NB auf a oder r umformen
Dann in A(x) einsetzten Ableiten A'(x) > Nullsetzten dann mit A''(x) prüfen auf HP od. TP
Leider scheiterts bei mir entweder beim Ableiten oder beim Umformen ich bekomme immer Irgendein falsches Ergebnis Hammer

Lösung: a oder x = 112,02 cm; b oder 2r = 56 cm; A = 1,12m²

Grüße Wink
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XB360
Zielfunktion ist denke ich


Das ist nicht die Zielfunktion, sondern die Hauptbedingung.

Zitat:
Original von XB360
Die nächsten Schritte wären ja dann die NB auf a oder r umformen


Dann zeig uns mal deine nächsten Schritte.
XB360 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach a umformen


Was denke ich schon falsch umgeformt ist traurig

A in die HB einsetzen


Ver"einfachen":


Ableiten:


Nullsetzten
0/2 unglücklich

Ja ich glaube ich habe bei den Äquivalenzumformungen einen Fehler gemacht verwirrt
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XB360
Nach a umformen


Was denke ich schon falsch umgeformt ist


Nicht verzweifeln. smile

Du hast bloß einen kleinen Denkfehler.





Wenn man nun durch zwei dividiert, dann musst jeden einzelnen Ausdruck mit zwei dividieren.

Sprich:



Und diesen Ausdruck kann man wieder vereinfachen zu ?

XB360 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt die umwandlung?


Einsetzten > Ableiten > Umformen komm ich dann bis


Darf ich dann so umformen


Oder erlauben das die Potenzrechenregeln nicht?
Das Ergebnis ist leider nicht richtig.

Irgendwie bin ich schon am verzweifeln an den Beispiel. Hab ein Ähnliches Bsp. mit einem Fußballplatz und 2 Halbkreisen links und rechts dran gerechnet das fiel mir leichter und da war auch gleich Klar wie man die Formel aufstellen muss. An diesen Beispiel sitze ich schon seit 3 Tagen hab nebenbei aber schon zig andere ohne Probleme gerechnet Hammer
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XB360


Wie kommst du darauf ? Jedenfalls komme ich auf etwas anderes.



Einsetzen:

Was bekommst du ?
 
 
XB360 Auf diesen Beitrag antworten »

Eingesetzt:


Vereinfacht:


Ableiten


Ist allerdings wieder falsch unglücklich verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ableiten der beiden Brüche ist schief gegangen. Im übrigen kannst du die Brüche vorher noch zusammenfassen. smile
XB360 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also wenn ich den Bruch zusammenfasse habe ich dann


Darf ich dann den gesamten Term *2 rechnen, damit der Bruch weg fällt?


So dann ableiten? (Fällt das Pi da weg? Es ist ja keine freistehende Konstante > hängt ja mit r² zusammen)


Hab ich da einen Fehler gemacht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XB360
Ok also wenn ich den Bruch zusammenfasse habe ich dann


unglücklich Da steht und nicht .

Zitat:
Original von XB360
Darf ich dann den gesamten Term *2 rechnen, damit der Bruch weg fällt?


Im Prinzip darfst du das nicht, da du damit die Funktion A(r) veränderst. Du könntest aber eine Funktion B(r) := 2 * A(r) definieren. Diese hätte die gleichen Extremstellen wie A(r) und umgekehrt.

Zitat:
Original von XB360
So dann ableiten? (Fällt das Pi da weg? Es ist ja keine freistehende Konstante > hängt ja mit r² zusammen)


Die Ableitung ist prinzipiell richtig, nur - wie gesagt - solltest du dann die Funktion B(r) bzw. die Ableitung B'(r) nennen. Aber eigentlich lohnt sich der Aufwand nicht.
XB360 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah schön langsam blick ich durch geschockt

Richtig zusammengefasst:


Ableiten da gilt ja:





das dann Null setzten? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XB360
Ableiten da gilt ja:


Das stimmt zwar, hat aber mit dieser Funktion nichts zu tun. Du leitest doch das r² im Zähler ab und nicht die 2 im Nenner.
XB360 Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das das der Nenner unverändert bleibt und das Vorzeichen auch stehen bleibt?



Ist das so richtig? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das Stichwort lautet "Faktorregel". smile
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