Die Tangenten an den Kreis finden

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23.04.2014, 22:54	decsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tangenten an den Kreis finden Hallo zusammen "Suche die Gleichung der Tangenten von $\begin{eqnarray} A(-14, -2) \end{eqnarray}$ an den Kreis $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = 100 \end{eqnarray}$ ; welchen Winkel schliessen diese Tangenten ein? Die Aufgabe muss mit den Mitteln der linearen Algebra bzw. Vektorgeometrie gelöst werden, also keine Analysis und auch keine Konstruktionen. Wir haben zuletzt folgende Gleichung hergeleitet, daher nehme ich an, muss diese genutzt werden: $\begin{eqnarray} t: (x_B-x_M)(x-x_M)+(y_B-y_M)(y-y_M) = r^2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ der Mittelpunkt des Kreises, $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ der Schnittpunkt der Tangente mit dem Kreis und $\begin{eqnarray} X, Y \end{eqnarray}$ die Parameter der Tangenten sind Allerdings habe ich einfach zuwenig Angaben um damit weiter zu kommen. $\begin{eqnarray} t: (x_B-0)(x-0)+(y_B-0)(y-0) = 100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t: (x_B)x+(y_B)y = 100 \end{eqnarray}$
24.04.2014, 01:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst noch berücksichtigen, dass A auf der Tangente liegt und B auf dem Kreis.
24.04.2014, 01:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Angaben sind ausreichend, du hast den Punkt A noch nicht ausgewertet, dieser liegt ebenfalls auf der Tangente. Demnach ist $\begin{eqnarray} -14x_b - 2y_b = 100 \end{eqnarray}$ Die zweite Gleichung für die Koordinaten des Berührungspunktes ist die Kreisgleichung, da B auf dem Kreis liegt. _______________ Die Rechnung ist identisch mit der Berechnung der Polaren von A bezüglich des Kreises. Die Polare ist die Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte, der Punkt A, der Schnittpunkt der beiden Tangenten, ist der Pol. Die Polarengleichung ist identisch der Spaltformel der Tangentengleichung, wie diese Tatsache eben hier aus der Rechnung auch hervorgeht. mY+
24.04.2014, 10:03	decsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. $\begin{eqnarray} t: x\cdot x_B + y \cdot y_B = r^2 \end{eqnarray}$ Da setze ich nun Punkt A ein: $\begin{eqnarray} t: -14 x_B -2 y_B = 100 \end{eqnarray}$ Nun für den Kreis: $\begin{eqnarray} k: x^2 + y^2 =r^2 \end{eqnarray}$ Hier setze ich den Punkt B ein. $\begin{eqnarray} k: x_B^2 + y_B^2 = 100 \end{eqnarray}$ Mit der Additionsmethode kann ich dieses Gleichungssystem ja nicht lösen, ich wüsste zumindest nicht wie. Also setze ich gleich $\begin{eqnarray} x_B^2 + y_B^2 = -14 x_B -2 y_B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_B^2 + y_B^2 + 14 x_B + 2 y_B = 0 \end{eqnarray}$ Nun kann ich höchstens noch quadratisch ergänzen aber das bringt mir ja irgendwie alles nichts am Ende: $\begin{eqnarray} x_B^2 + 14 x_B + \frac{14}{2}^2 + y_B^2 + 2 y_B + 1^2 = \frac{14}{2}^2 + 1^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_B + 7)^2 + (y_B + 1)^2 = 50 \end{eqnarray}$ Übersehe ich etwas, oder bin ich komplett falsch unterwegs? Es tut mir leid dass ich mich dermassen blöd anstelle, aber ich tue mich mit der gesamten LinAlg einfach wirklich schwer.
24.04.2014, 13:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du rechnest einfach nur "im Kreis". Lasse doch die 100 stehen, das ist einfacher. Kennst du die Substitutionsmethode? Dazu braucht man eigentlich kein besonderes LinA-Wissen. $\begin{eqnarray} y_b = -50 - 7x_b \end{eqnarray}$ Und damit nun in die Kreisgleichung (--> quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} x_b \end{eqnarray}$ ) ...
24.04.2014, 22:18	decsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank! Habe nun damit die korrekten Tangentengleichungen gefunden: $\begin{eqnarray} t_1 : 4x-3y+50 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_2: 3x-4y+50 = 0 \end{eqnarray}$ Nun fehlt mir nur der Winkel dazwischen. Leider ist mir nur bekannt, wie dies funktioniert, wenn man die Parametergleichungen hat (Skalarprodukt). Wie macht man das denn mit solchen Koordinatengleichungen?
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25.04.2014, 00:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu musst du wissen, dass die Koeffizienten der Koordinatengleichungen die Komponenten der Normalvektoren bezeichnen! Und der Winkel der Normalvektoren ist der gleiche wie jener der Geraden selbst (also auch der Winkel der Richtungsvektoren). mY+
25.04.2014, 08:56	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, ich bitte um Entschuldigung, dass ich mich hier einmische, aber bevor die Winkelberechnung gestartet wird, sollte besser die Gleichung für t2 repariert werden: $\begin{eqnarray} t_2: 3x\color{red}+ \color{black}4y+50 = 0 \end{eqnarray}$
25.04.2014, 20:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut aufgepasst , danke! Na dann! Braucht man nicht mal mehr rechnen, denn auf Grund der Werte der Steigungen "sieht" man ja schon den Winkel! mY+
28.04.2014, 21:33	decsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, sorry dass ich den Thread nochmals hervorhole. Danke für eure Hilfe. Im Unterricht haben wir dann noch eine etwas andere Vorgehensweise besprochen, die ich leider nicht mehr genau nachvollziehen kann: Nochmals: Es sind die Tangenten von Punkt $\begin{eqnarray} A(-14/-2) \end{eqnarray}$ an den Kreis $\begin{eqnarray} x^2+y^2=100 \end{eqnarray}$ gesucht. Wenn ich den Punkt in die allgemeine Geradenformel einsetze: $\begin{eqnarray} y = mx + q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -14 = -2x + q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q = 2m -14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t: y = mx + 2m - 14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t: y = mx -y + 2m - 14 = 0 \end{eqnarray}$ Da der Kreis auf dem Ursprung liegt und wir den Radius kennen und y dem Radius entspricht, kann die hessesche Normalform genutzt werden: $\begin{eqnarray} HNF: \frac{mx - y + 2m - 14}{\sqrt{m^2+1^2}}=10 \end{eqnarray}$ ...?... Hier bin ich leider nicht mehr mitgekommen. Auf jedenfall sollten wir nun irgendwie zu $\begin{eqnarray} 12m^2-7m-12=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3m - 4)(4m+3) \end{eqnarray}$ Und der Winkel ist dann $\begin{eqnarray} m_1 \cdot m_2 = -\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3} = -1 = 90° \end{eqnarray}$ kommen. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
28.04.2014, 21:49	decsis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach beim Verfassen des Posts ist mir dann plötzlich doch noch die Idee gekommen, dass ich ja wohl den Ursprung (=Kreismittelpunkt $\begin{eqnarray} (0/0) \end{eqnarray}$ ) einsetzen muss und damit $\begin{eqnarray} \frac{2m-14}{\sqrt{m^2+1}}= 10 \end{eqnarray}$ erhalte, was sich dann relativ einfach umformen lässt.

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