Wahrscheinlichkeitsraum Beispiel Würfel

23.04.2014, 23:22	Dani_ela	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsraum Beispiel Würfel Guten Abend, Ich versuche mir gerade den Begriff Wahrscheinlichkeitsraum, also das Tripel $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{F}, P ) \end{eqnarray}$ klar zu machen. Dazu betrachte ich das Beispiel "Wirf einen weißen und einen schwarzen Würfel": Der Grundraum $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ (da $\begin{eqnarray} \Omega \ne \emptyset \end{eqnarray}$ ) ist hier $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\} \times \left\{1,2,3,4,5,6\right\} = \left\{(\omega_{1},\omega_{2}); \omega_{1}, \omega_{2} \in \left\{1,2,3,4,5,6\right\}\right\} \end{eqnarray}$ mit dem Paar $\begin{eqnarray} \omega= \left(\omega_{1},\omega_{2} \right) \in \Omega \end{eqnarray}$ . Frage 1: Ist das richtig so? Frage 2: Wie beweise ich, dass $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra ist? Und wie kann ich mir dass in diesem Beispiel verdeutlichen? Frage 3: Wie zeige ich die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Additivität von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ? Danke schonmal, Daniela
23.04.2014, 23:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wahl von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ sieht soweit passend aus. Was die Fragen 2 und 3 betrifft: Zunächst mal sind $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ überhaupt anzugeben, bevor man für sie irgendwas beweisen kann. In aller Regel ist bei endlichen oder abzählbaren $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ schlicht die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , d.h. jede mögliche Teilmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist auch ein Ereignis. Zur Beschreibung von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ genügt in diesem Fall die Angabe aller Elementarereigniswahrscheinlichkeiten, d.h. $\begin{eqnarray} P(\{\omega\}) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ . Die müssen alle nichtnegativ reell sein, mit Summe gleich 1 - mehr ist da nicht zu zeigen, die Sigma-Additivität und die restlichen W-Maß-Eigenschaften gelten dann ganz automatisch.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »