Polyeder beschränkt?

24.04.2014, 10:46	root985	Auf diesen Beitrag antworten »
Polyeder beschränkt? Hallo, folgendes ist gegeben (s. Anhang). Aufgrund der Restriktion x1, x2 => 0, ist das Polyeder nach unter beschränkt. Jetzt habe ich in meine Zeichnung den Optimalpunkt ermittelt und könnte diesen als Eckpunkt eines Rechtecks nehmen und die Geraden inklusive der x1, x2 Achse umschließen. Aber was ist die Begrünung, dass das Polyeder nur innerhalb des Rechtecks beschränkt ist, da das Optimum der maximale zulässige Bereich für x1,x2 entspricht? Alles außerhalb des Rechtecks ist somit außerhalb der Restriktionen richtig?
24.04.2014, 11:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier lediglich um großzügige Abschätzungen des Gebietes. Z.B. ergibt die "Summe" der zweiten und dritten Bedingung $\begin{eqnarray} 2x_1 + 3x_2 \leq 19 \qquad () \end{eqnarray}$ woraus man mit $\begin{eqnarray} x_2\geq 0 \end{eqnarray}$ unmittelbar $\begin{eqnarray} 2x_1\leq 19 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_1\leq \frac{19}{2} \end{eqnarray}$ erhält. Analog liefer $\begin{eqnarray} x_1\geq 0 \end{eqnarray}$ im Zusammenhang mit () dann $\begin{eqnarray} 3x_2\leq 19 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_2\leq \frac{19}{3} \end{eqnarray}$ . Und schon haben wir ein Rechteck, welches das Polyeder sehr grob umfasst - mehr ist hier nicht gefragt.
24.04.2014, 11:52	root985	Auf diesen Beitrag antworten »
Man addiert die Gleichungen miteinander und sucht den höchsten Wert hinter dem Gleichzeichen, was dann die äußerste Ecke entspricht? -> Denn die Addition der 1. und 2. Gleichung wäre somit kleiner, 8 < 19 In der Tat schneiden die 1. und 3. Gleichung den Optimalpunkt (Maximum) im Koordinatensystem. Also kann man sagen, man sucht den höchstmöglichen Punkt und nimmt diesen als Eckpunkt des Rechtecks. Der Rest vom Punkt in Richtung x1 und x2 Achse erfolgt dann anhand der x1,x2 > 0 Restriktionen analog.
24.04.2014, 13:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier nicht um "höchsten Wert hinter dem Gleichheitszeichen" o.ä. Ich hab einfach nur nach einer Ungleichungsbedingung $\begin{eqnarray} ax_1+bx_2\leq c \end{eqnarray}$ mit positiven $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ Ausschau gehalten - denn die allein schon zusammen mit den Nichtnegativitätsbedingungen $\begin{eqnarray} x_1\geq 0,x_2\geq 0 \end{eqnarray}$ beschränken das Gebiet auf ein Dreieck im ersten Quadranten. Und die Summe von zweiter und dritter Ungleichung hat genau das geliefert. Eine Skizze dazu: Rot und Grün sind die Begrenzungsgeraden für das Viereck (mit linker unterer Ecke im Ursprung). Die Summe der Ungleichungen wird repräsentiert durch die blaue Gerade, die mit den Koordinatenachsen ein Dreieck bildet, welches sehr großzügig bzw. -räumig das genannte Viereck umfasst. Und letzteres ist ja ggfs. auch noch größer als das eigentliche Polyeder, eingegrent durch alle vorliegenden Ungleichungen.

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