Supremum |
| 24.04.2014, 10:55 | keineAhnunghoch10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Supremum Hallo an alle 
!Folgende Aufgabe soll ich lösen, bzw. beweisen: Für die Teilmenge A,B reellen Zahlen betrachten wir die Menge A+B, die durch A+B := {a+b | a A und b B} definiert ist. Zeigen Sie: Falls A und B nichtleer und nach oben beschränkt sind, dann ist auch A+B nicht leer und nach oben beschränkt und es gilt: sup(A+B)= sup(A) + sup(B) für den letzten Teil gibt es einen Hinweis: Man soll folgende Ungleichung beweisen sup(A+B) sup(A) + sup(B) und sup(A+B) sup(A) + sup(B). Vielen Dank an alle!!! Meine Ideen: Ich habe erst einmal eine grundsätzliche Frage, denn ich muss jede Matheaufgabe in winzigen Schrittchen lösen, weil es mir sehr schwer fällt: 1. Kann ich die Aufgabe in zwei Teile aufteilen? a) nicht leehr und nach oben beschränkt zeigen b) zweiter Teil mit dem Hinweis 2. Eine Verständnisfrage: Ich soll zeigen, dass A und B nichtleer sind. Aber ist das mit der Definition nicht bereits gezeigt? Denn laut Definition enthält A ja mindestens ein Element, nämlich a und B mindestens ein Element, nämlich b? |
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| 24.04.2014, 11:09 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Supremum
Ja.
Nun ja, das ist prinzipiell die richtige Überlegung, die noch formal sauber unter Anwendung der Definition aufzuschreiben ist.
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| 24.04.2014, 11:37 | keineAhnunghoch10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Supremum Erstmal vielen Dank für diese super schnelle Antwort! Ich habe nun mal Google nach der Formulierung gefragt, bzw. ob ich das noch beweisen muss, denn um ehrlich zu sein bin ich mir nichteinmal darüber im Klaren. Allerdings würde ich einen Beweis eher ausschließen, da die Definition die "Nichtleere" bereits besagt. Formulieren in der mathematischen Sprache fällt mir extrem schwer, aber ist logischerweise von Nöten. Formulieren würde ich es evtl so: Muss ich mit den beiden Mengen "rechnen" und dann zu dem Schluss zu kommen? |
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| 24.04.2014, 11:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Supremum
Nun ja, ob die Definition die "Nichtleere" bereits besagt, ist schwer zu sagen. Immerhin könnte ja beispielsweise die Menge A leer sein. Dann müßte wohl auch A+B leer sein, denn sonst gäbe es in A+B ein Element c mit der Darstellung c = a+b mit a Element von A und b Element von B. Wie dem auch sei, du hattest doch im Prinzip schon den richtigen Ansatz: Wenn A und B nicht leer sind, gibt es ein a_0 mit a_0 Element von A und ein b_0 mit b_0 Element von B. Mithin ist c_0 := a_0 + b_0 ein Element von A+B und somit ist diese Menge nicht leer. |
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| 24.04.2014, 12:06 | keineAhnunghoch10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Supremum Danke für die Erklärung, ich hoffe ich habe das richtig verstanden. Ich habe also aus der Menge A ein Element A0 und aus der Menge B ein Element B0. Da die beiden Mengen addiert werden, muss es ein Element c0 (aus der "Additionsmenge" C?!) geben, denn wenn es dieses c0 nicht gäbe, würde das bedeuten das Ergebnis der Addition ist leer und somit auch A und B. Ist das richtig soweit? Da nun in der Aufgabe aber steht, dass in A und B tatsächlich je mind. ein Element enthalten ist, bedeutet das, dass auch c0 vorhanden sein muss, nämlich dann wenn man A und B addiert. Dieses c0 entsteht, wenn man A und B addiert, somit ist c definiert als a+b, bzw. c0:=a0+b0 Ich weiß ich habe das was du aufgeschrieben hast nur wiederholt, das war nur für mein Verständnis. Ich hoffe ich habe es richtig verstanden. DANKE!
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| 24.04.2014, 12:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Supremum Hm. Das sieht ein bißchen nach "im Kreis drehen aus".
An dieser Stelle bevorzuge ich meine Formulierung: Da A und B nicht leer sind, gibt es ein a_0 mit a_0 Element von A und ein b_0 mit b_0 Element von B. Nun bilden wir einfach mal c_0 := a_0 + b_0 . Das kann man ja ohne weiteres mal machen und hat mit der Additionsmenge A+B im ersten Moment nichts zu tun. Als nächstes prüfen wir, ob dieses so definierte c_0 möglicherweise (sozusagen rein zufällig 
) ein Element von A+B sein könnte. Und tatsächlich: das c_0 erfüllt die für A+B genannte Bedingung, so daß also A+B nicht leer ist. |
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| 24.04.2014, 12:19 | keineAhnunghoch10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Supremum Okay, jetzt hab ichs verstanden
Nun ist noch zu zeigen, dass A und B nach oben beschränkt sind (Supremum, kleinste obere Schranke). Das heißt es gibt ein Element, das in der Menge liegt und die Eigenschaft hat, dass kein anderes Elemnt aus der Menge größer ist. Richtig so? Dieses Element z.B. an und bn sind somit größer als alle anderen Elemente der Menge. an {a1,...,an}, bzw. bn {b1,...,bn} Kommt das irgendwie hin? |
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| 24.04.2014, 12:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Supremum
Ungenau formuliert. Es ist dieses zu zeigen: Wenn sowohl A als auch B nach oben beschränkt sind, dann ist auch die Menge A+B nach oben beschränkt. Dazu einfach die Definition der Beschränktheit nutzen bzw. nachweisen. 
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