n divergent

24.04.2014, 12:15

kadoy

n divergent

hey,

ich wollt zeigen dass n divergent ist und habs so gemacht

n < epsilon
nach umformen
n > epsilon

dann folgt dass N = epsilon +1

nun hab ich epsilon = 1 gewählt

dann soll ja epsilon kleiner sein als n

und wenn ich das dann oben einsetze hab ich 2 < 1

also nen widerspruch

jetzt weiss ich nicht ob man das überhaupt so zeigen
was mich am meisten stört ist dass es ja eigentlich $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a| < epsilon \end{eqnarray*}$ ist und ich das a also den grenzwert ignoriert hab

also bin ich mir schon fast sicher dass es falsch ist nur wüsste ich gern wie man es sonst zeigen könnte

24.04.2014, 13:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kadoy
n < epsilon
nach umformen
n > epsilon

dann folgt dass N = epsilon +1

nun hab ich epsilon = 1 gewählt

dann soll ja epsilon kleiner sein als n

und wenn ich das dann oben einsetze hab ich 2 < 1

also nen widerspruch

Wenn ich mir das so durchlese, dann kann ich nur sagen: Hände weg von Drogen!

Was sollst du überhaupt zeigen? "Dass n divergent ist" ist so geschrieben ziemlicher Blödsinn.

Geht es darum, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ - von mir aus auch verkürzt geschrieben $\begin{eqnarray*} (n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ - divergent ist?

24.04.2014, 15:50

kadoy

Auf diesen Beitrag antworten »

jop die folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = n \end{eqnarray*}$

und ich wollte nur wissen ob man das mit der definition der konvergenz zeigen kann =)

24.04.2014, 16:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wenn du es ganz elementar auf Basis der Konvergenzdefinition machen willst, ohne jede weitere Kenntnis von Eigenschaften konvergenter Folgen:

Angenommen, es existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a = \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein (i.d.R. von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängiges) $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

(Anmerkung: Das ist in voller Länge mal das, wo du einfach nur das Wort "epsilon" hinwirfst. unglücklich

)

Wählen wir nun speziell $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und zugehöriges $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , dann ist sowohl $\begin{eqnarray*} |a_{n_0}-a|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} |a_{n_0+1}-a|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , womit nach Dreiecksungleichung

$\begin{eqnarray*} |a_{n_0+1}-a_{n_0}| \leq |a-a_{n_0}| + |a_{n_0+1}-a| < 1 \end{eqnarray*}$

folgt. Für die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ steht nun aber links $\begin{eqnarray*} |a_{n_0+1}-a_{n_0}| = |n_0+1-n_0| = 1 \end{eqnarray*}$ , Widerspruch.

24.04.2014, 16:50

kadoy

Auf diesen Beitrag antworten »

den letzten satz versteh ich nicht unglücklich

24.04.2014, 17:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du verstehst nicht die Rechnung, oder nicht, dass $\begin{eqnarray*} 1<1 \end{eqnarray*}$ ein Widerspruch ist verwirrt

24.04.2014, 18:40

kadoy

Auf diesen Beitrag antworten »

=) ich meine den schritt vom linken betrag zum rechten betrag des gleichheitszeichens im letzten schritt

24.04.2014, 18:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wie jetzt? Du betrachtest doch die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ ! Da ist dann eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} n=n_0:\quad a_{n_0}=n_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=n_0+1:\quad a_{n_0+1}=n_0+1 \end{eqnarray*}$

Und folglich:

$\begin{eqnarray*} a_{n_0+1} - a_{n_0} = n_0+1 - n_0 = 1 \end{eqnarray*}$ , der Betrag davon bleibt natürlich 1.

Wenn du das jetzt noch ausführlicher erklärt haben willst, dann muss ich passen (und schreiend davonrennen, das nur nebenbei).

24.04.2014, 19:20

kadoy

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja ok
danke für deine mühe hilfe und sarkasmus Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

n divergent

Verwandte Themen