Nachweis über die Ableitung des arcsin

24.04.2014, 14:47

totti

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Nachweis über die Ableitung des arcsin

Hallo zusammen, kann mir einer einen kleinen Tipp geben, wie ich dabei vorgehen muss.

Ich möchte im Prinzip beweisen das die Ableitung des arcsin wie folgt lautet:

$\begin{eqnarray*} arcsin'(z)= \frac{1}{\sqrt{1-z^2} } \end{eqnarray*}$

Nun bin ich wie folgt vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} arcsin'(z)= \frac{1}{sin'(arcsin(z)} \end{eqnarray*}$

Dann:

$\begin{eqnarray*} arcsin'(z)= \frac{1}{cos(arcsin(z))^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt hapert es bei mir....

Danke...

24.04.2014, 14:53

10001000Nick1

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RE: Nachweis über die Ableitung des arcsin

Zitat:

Original von totti
Nun bin ich wie folgt vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} arcsin'(z)= \frac{1}{sin'(arcsin(z)} \end{eqnarray*}$

Dann:

$\begin{eqnarray*} arcsin'(z)= \frac{1}{cos(arcsin(z))^{\textcolor{red}{2}}} \end{eqnarray*}$

Woher kommt da das Quadrat?
Richtig ist $\begin{eqnarray*} \arcsin'(z)= \frac{1}{\cos(\arcsin(z))} \end{eqnarray*}$ .

Benutze jetzt den trigonometrischen Pythagoras $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

24.04.2014, 14:54

totti

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Das Quadrat daher, da es sich doch dabei um die Quotientenformel handelt oder nicht???

24.04.2014, 14:57

10001000Nick1

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Du sollst ja nicht den gesamten Bruch ableiten.

$\begin{eqnarray*} \sin'(\arcsin(z)) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass du in die Ableitungsfunktion des Sinus $\begin{eqnarray*} \arcsin(z) \end{eqnarray*}$ einsetzt. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sin'(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ . Da setzt du jetzt $\begin{eqnarray*} \arcsin(z) \end{eqnarray*}$ ein. Also: $\begin{eqnarray*} \sin'(\arcsin(z))=\cos(\arcsin(z)) \end{eqnarray*}$ .

24.04.2014, 14:58

totti

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Stimmt alles klar,

und wie soll ich mir jetzt den trigonometrischen Pythagoras zu nutze machen?

24.04.2014, 15:04

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1\Rightarrow \cos^2(x)=1-\sin^2(x)\Rightarrow |\cos(x)|=\sqrt{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

Damit kannst du jetzt den Nenner anders schreiben.

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24.04.2014, 15:12

totti

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Ahhh...

$\begin{eqnarray*} arcsin'(z)= \frac{1}{\sqrt{1-sin(arcsin(z))^2} } \end{eqnarray*}$

sin und arcsin heben sich auf...und es bleibt im Nenner $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-z^2} \end{eqnarray*}$ stehen?!?!

24.04.2014, 15:13

10001000Nick1

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Ja.

Freude

24.04.2014, 15:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
$\begin{eqnarray*} |\cos(x)|=\sqrt{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

An der Stelle muss natürlich noch die ketzerische Frage kommen: Warum ist bei Auflösung der Beträge nicht auch die Minus-Variante

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \end{eqnarray*}$

als Ableitung denkbar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2014, 15:51

totti

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Also 1. ist dies die Ableitung vom arccos(z) =)
Und 2. Da wir ja den Betrag vom cos genommen haben...
Gute eine Wurzel kann immer +- sein. Aber....

hmm gute Frage^^

24.04.2014, 15:53

10001000Nick1

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Guck dir mal das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(z)) \end{eqnarray*}$ an.

24.04.2014, 16:03

totti

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+ cos natürlich=)

Man manchmal sind die Antworten so verdammt einfach und man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht...

24.04.2014, 16:05

10001000Nick1

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Zitat:

Original von totti
+ cos natürlich=)

verwirrt

Meinst du damit, dass $\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(z)) \end{eqnarray*}$ immer größer/gleich 0 ist?

Deswegen ist dann also $\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(z))=|\cos(\arcsin(z))| \end{eqnarray*}$ und man darf das dann wegen $\begin{eqnarray*} |\cos(x)|=\sqrt{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$ ersetzen.

24.04.2014, 16:30

totti

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So meinte ich dies ja?!

Wieso ist das falsch?

24.04.2014, 16:32

10001000Nick1

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Nein, aber ich wusste nicht, wie ich "+ cos" verstehen soll.

24.04.2014, 17:12

HAL 9000

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Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass $\begin{eqnarray*} \arcsin(z) \end{eqnarray*}$ stets im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ liegt, und für $\begin{eqnarray*} x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \cos(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ , weswegen die Betragsstriche hier (!) weggelassen werden dürfen.

Wird leider oft vergessen - entschuldigt die Störung.

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