Verstehe Umformung nicht (Gammafunktion)

24.04.2014, 17:39	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe Umformung nicht (Gammafunktion) Meine Frage: Hallo Leute, kann mir einer folgenden Umformung klar machen? $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} x^{n+a-1} \cdot e^{- \lambda x} dx = \frac{\Gamma(a+n)}{\lambda^{a+n}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wenn ich mir die Rechte Seite ansehen, dann habe ich ja: $\begin{eqnarray} \frac{\Gamma(a+n)}{\lambda^{a+n}} = \int_0^{\infty} x^{a+n-1} \cdot e^{-x} \cdot \frac{1}{\lambda^{a+n}} \ dx \end{eqnarray}$ wie soll ich jetzt das $\begin{eqnarray} \lambda^{a+n} \end{eqnarray}$ in das e reinbekommen? Danke für die Hilfe Im Grunde brauche ich die Begründung für die Gleichung: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \lambda^a \cdot x^{a-1} \cdot e^{-\lambda \cdot x} dx = \Gamma(a) \end{eqnarray}$ Ich sehe nicht warum die Gleichung stimmt..
24.04.2014, 19:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere $\begin{eqnarray} t=\lambda x \end{eqnarray}$ .
25.04.2014, 12:26	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche ich doch gleich mal aus Ich habe: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \lambda^a \ x^{a-1} \ e^{-\lambda x} \ dx \end{eqnarray}$ Sei nun: $\begin{eqnarray} t:= \lambda x \Leftrightarrow \frac{t}{\lambda} = x \end{eqnarray}$ , dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} dt = \lambda dx \Rightarrow \frac{dt}{\lambda} = dx \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \lambda^a \ \frac{t^{a-1}}{\lambda^{a-1}} \ e^{-t} \ \frac{dt}{\lambda} = \int_0^{\infty} \lambda^a \ \frac{t^{a-1}}{\lambda^{a}} \ e^{-t} \ dt = \int_0^{\infty} \ t^{a-1} \ e^{-t} \ dt = \Gamma(a) \end{eqnarray}$ super! Danke

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