Permutation Gleichung 2

24.04.2014, 17:59

Van Thom

Permutation Gleichung 2

Ich soll die Gleichung $\begin{eqnarray*} p\circ (1,2)(3,4,5)\circ p^{-1}=(1,5,3)(2,4) \end{eqnarray*}$ lösen.

Dazu habe ich erst einmal die Permutationsgleichung in Listenschreibweise überführt.

$\begin{eqnarray*} p\circ\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}\circ p^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe dazu schon überlegt ob ich durch Umformung irgendwie das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p^{-1} \end{eqnarray*}$ erhalte.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}~,~B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} p\circ A\circ p^{-1}=B \end{eqnarray*}$

Allerdings bringt mich das auch nicht weiter. Kann mir jemand helfen?

24.04.2014, 20:21

HAL 9000

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Setz doch einfach an:

$\begin{eqnarray*} p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ a & b & c & d & e \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit folglich $\begin{eqnarray*} p^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c & d & e \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann kannst du konkret (mit a,b,c,d,e) die Dreierkomposition

Zitat:

Original von Van Thom
$\begin{eqnarray*} p\circ\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}\circ p^{-1} \end{eqnarray*}$

berechnen.

24.04.2014, 20:43

Van Thom

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Gute Idee. Ich werde das gleich mal ausprobieren.
Dankeschön. smile

24.04.2014, 21:46

Van Thom

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Ich habe nun: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c & d & e \\ b & a & d & e &c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erhalte ich demnach für $\begin{eqnarray*} p=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

24.04.2014, 22:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Van Thom
Erhalte ich demnach für $\begin{eqnarray*} p=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, die nun gerade nicht.

Schreiben wir mal die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c & d & e \\ b & a & d & e &c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in Zykelschreibweise, dann wird es vielleicht deutlich:

$\begin{eqnarray*} (a,b)(c,d,e) = (2,4)(1,5,3) \end{eqnarray*}$

Die sich daraus ergebende Lösung ist nicht eindeutig, es gibt deren $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3=6 \end{eqnarray*}$ Lösungen:

$\begin{eqnarray*} a=2,b=4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=4,b=2 \end{eqnarray*}$

frei kombinierbar mit

$\begin{eqnarray*} c=1,d=5,e=3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c=5,d=3,e=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c=3,d=1,e=5 \end{eqnarray*}$ .

24.04.2014, 22:40

Van Thom

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IN der Zyklenschreibweise wird es deutlich das die Lösung nicht eindeutig sein kann. Eine Frage habe ich allerdings noch, wo nimmst du $\begin{eqnarray*} (2,4)(1,5,3) \end{eqnarray*}$ her?

25.04.2014, 08:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Van Thom
Eine Frage habe ich allerdings noch, wo nimmst du $\begin{eqnarray*} (2,4)(1,5,3) \end{eqnarray*}$ her?

Hallo? Das ist eine Zykelschreibweise vom angestrebten Ergebnis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die steht schließlich auch schon in in der Aufgabenstellung

Zitat:

Original von Van Thom
Ich soll die Gleichung $\begin{eqnarray*} p\circ (1,2)(3,4,5)\circ p^{-1}={\color{red}(1,5,3)(2,4)} \end{eqnarray*}$ lösen.

Die Reihenfolge der Zykel (1,5,3)(2,4) oder (2,4)(1,5,3) ist unerheblich.

25.04.2014, 10:40

Van Thom

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Dankeschön.

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