Induktion

24.04.2014, 22:27

Van Thom

Induktion

Ich soll beweisen das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt.

I.A. $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{1}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{4}<\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ .

I.S. $\begin{eqnarray*} n\rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n},\forall n\geq 2 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{(n+1)^2}>\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Nach Voraussetzung erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{(n+1)^2}>2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>\frac{-(n+1)^2+2n}{n(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>\frac{-n^2-1}{n(n+1)^2} \end{eqnarray*}$
q.e.d.

Ich bin mir ziemlich unsicher bei der Anwendung der Voraussetzung ob die Ungleichung da nicht verletzt wird. Ist jemand so nett und könnte einmal drüber schauen?

24.04.2014, 22:35

HAL 9000

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Da ist aber ziemlich viel schiefgegangen. Das geht schon beim Induktionsanfang los:

Der ist nicht n=1 (da gilt nämlich noch Gleichheit in der Behauptung statt <), sondern n=2.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^1 \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ ist Unsinn, es geht um $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2 \frac{1}{k^2} = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ .

Nun zum Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ : Der läuft im wesentlichen auf den Nachweis der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1} > 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

hinaus. Woher bei dir das zusätzliche Quadrat im Nenner links kommt, kann ich mir nicht erklären - du wohl auch nicht, wenn du genauer nachdenkst.

24.04.2014, 22:59

Van Thom

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Ich schreibe es noch einmal neu auf.

I.A.: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2\frac{1}{k^2}=\frac{1}{4}<\frac{3}{2}=2-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

I.S.: $\begin{eqnarray*} n\rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n<2-\frac{1}{n},\forall n\geq 2 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1}>\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Nach Voraussetzung:

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1}>2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>\frac{-n^2-n+1}{n(n+1)^2} \end{eqnarray*}$
q.e.d

Ist nun alles richtig?

25.04.2014, 08:10

HAL 9000

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Wie kommst du von der vorletzten auf die letzte Zeile? geschockt

Zitat:

Original von Van Thom
Ich schreibe es noch einmal neu auf.

I.A.: $\begin{eqnarray*} {\color{red}n=1} \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2\frac{1}{k^2}={\color{red}\frac{1}{4}}<\frac{3}{2}=2-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wirklich beeindruckend, wie meine Anmerkungen zum Induktionsanfang angekommen sind. unglücklich

Der rechnerische Teil des Induktionsschrittes mag im wesentlichen aus dem Nachweis der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1} > 2-\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

bestehen - aber das heißt nicht, dass man die Verbindung zur nachzuweisenden Aussage dann in der Begründung weglässt.

25.04.2014, 10:07

Van Thom

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Entschuldigung. Noch einmal:

I.A.: $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2\frac{1}{k^2}=\frac{1}{4}<\frac{3}{2}=2-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

I.S.: $\begin{eqnarray*} n\rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n},\forall n\geq 2 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1}>\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1}>\underbrace{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}}_{\text{Voraussetzung}}++\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-\frac{1}{n+1}>2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich zeigen das die Ungleichung gilt?

25.04.2014, 10:15

HAL 9000

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konsequent hirnloses Copy+Paste
Ich verabschiede mich aus diesem Thread mit einer kleinen, ausführlichen Rechnung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2 \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}~{\color{red}\neq \frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ .

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