Nullstellen suchen

25.04.2014, 16:54

Lanz

Nullstellen suchen

Meine Frage:
Hey Augenzwinkern

Hätte da zwei kleine Fragen:

1.) Wie kann ich hier die Nullstellen herausfinden: $\begin{eqnarray*} x^3-9x^2+108 \end{eqnarray*}$
2.) Gegeben ist $\begin{eqnarray*} x^5-x^4-9x^3+5x^2+16x-12=0 \end{eqnarray*}$ . Zerlegung in Linearfaktoren ergibt $\begin{eqnarray*} (x-1)^2*(x+2)^2*(x-3)=0 \end{eqnarray*}$ . So viel ich noch weiß, ließt man aber immerden Wert vor dem X ab, also wäre es hier 1, -1, -9, 5, 16, -12?

LaTeX-Tag korrigiert. Steffen

Meine Ideen:

25.04.2014, 17:12

bijektion

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a) Du kannst die Lösungsformel für kubische Gleichung abzuwenden versuchen, deutlicher einfacher wird es allerdings, wenn du erstmal eine Nullstelle rätst.
b)

Zitat:

also wäre es hier 1, -1, -9, 5, 16, -12?

Warum bitte das? Was ist die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2014, 17:18

Gast11022013

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1) Welche Verfahren kennst du denn um sowas zu lösen?

2) Du verwechselst hier etwas. Du kannst (fast) jedes Polynom in reelle Linearfaktoren zerlegen.

Du kennst doch sicherlich die binomischen Formeln. Dann könntest du das Polynom

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+1 \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Das ist ja gerade die Anwendung der ersten binomischen Formel.

Also

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+1=(x+1)(x+1) \end{eqnarray*}$

Der Vorteil dieser Schreibweise ist, dass du nun die Nullstellen sehr leicht ablesen kannst. Hier verwendet man dann den Satz vom Nullprodukt.

Der Nachteil ist, dass dein Polynom wohl zu kompliziert ist um die Linearfaktorzerlegung leicht zu sehen. Man muss es so gesehen also "Rückwärts" machen. Du berechnest zu erst die Nullstellen und schreibst es dann als Linearfaktoren hin.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$

ließe sich zum Beispiel nicht (im reellen) in Linearfaktoren zerlegen, da diese Funktion keine Nullstellen hat.

Auch hier benötigst du ein Verfahren. Das selbe was du bei 1) auch brauchst, nur öfters.

Edit: Bin weg.

Sehe auch gerade, dass ich die Aufgabenstellung nicht mehr ganz im Kopf hatte. Scheinbar ist die Linearfaktorzerlegung bei 2) ja bereits gegeben.

25.04.2014, 17:32

Lanz

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Zitat:

Original von bijektion
a) Du kannst die Lösungsformel für kubische Gleichung abzuwenden versuchen, deutlicher einfacher wird es allerdings, wenn du erstmal eine Nullstelle rätst.

Habe mal meinen Taschenrechner 'raten' lassen, der sagt 6 und mit deiner Hilfe habe ich noch ergoogled, dass ich mit dieser eratenen Nullstelle eine Polynomdivision durchführen soll. Gleich mal probieren.

Zitat:

also wäre es hier 1, -1, -9, 5, 16, -12?

Warum bitte das? Was ist die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ ?

[/quote]

Wenn ich die jetzt in x-a einsetze, wird halt das Vorzeichen verändert.

25.04.2014, 17:44

Gast11022013

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Ja, eine Polynomdivision hört sich gut an.

Der Punkt ist, dass du wohl aus irgendeinem Grund die Koeffizienten der Summanden als deine Nullstellen ansiehst. Das ist natürlich nicht so.
Und du sollst da auch eigentlich nichts einsetzen. Du müsstest

x-a=0

"lösen".

Oder bezogen auf deine Aufgabe

x-1=0
x+2=0

usw.

25.04.2014, 18:10

Lanz

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$\begin{eqnarray*} <br /> x^3-9x^2+108: (x-6)=x^2-3x-18<br /> x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9+72}}{-2}=\frac{3 \pm 9}{-2} => x_1=-6, x_2=3<br /> \end{eqnarray*}$

edit(kgV-25.4,18.29): Latex-"Missgeschick" behoben

25.04.2014, 18:13

Lanz

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O-OK? Scheinbar technisches Problem. Nullstellen bei 6, -3.

Danke für die Unterstützung.

25.04.2014, 18:28

Gast11022013

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Wahrscheinlich liegt es an dem Smile und der Doppelpunkt-Klammer-Kombination.

Ja. Die Nullstelle bei x=6 kommt doppelt vor.

Edit:

Die Rechnungen passen.

Du solltest aber wohl die Zeile

$\begin{eqnarray*} x^2-3x-18=0 \end{eqnarray*}$

einfügen und nicht einfach direkt mit der pq-Formel/Mitternachtsformel aufwarten.

Außerdem solltest du die erratene Lösung der Polynomdivision auch als solche Vermerken.

$\begin{eqnarray*} x_1=6 \end{eqnarray*}$

Das spielt hier zwar nicht unbedingt eine Rolle, weil diese Lösung doppelt vorkommt, aber allgemein wird diese Lösung auch gerne vergessen. Darauf bitte achten.

25.04.2014, 18:34

Lanz

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Hatte eigentlich keine Smiley verwendet.

Sieht jemand den Vorzeichenfehler bei der Rechnung im (zuerst fehlerhaften) Post?

25.04.2014, 18:37

Gast11022013

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Ja, aber wenn du die Division darstellen möchtest setzt du ja einen Doppelpunkt und dann eine Klammer. Dies wird dann als unglücklich

erkannt.
Alternativ könntest du zum Beispiel \div $\begin{eqnarray*} \div \end{eqnarray*}$ schreiben.

Ein Vorzeichenfehler sollte dir nicht passiert sein.

Beachte auch, dass ich oben nachträglich noch editiert habe.

26.04.2014, 00:17

Helferlein

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Zitat:

Original von Lanz
Sieht jemand den Vorzeichenfehler bei der Rechnung im (zuerst fehlerhaften) Post?

Du teilst durch -2, korrekt ist aber 2. Wie kommst Du dort auf das negative Vorzeichen?

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