Grenzwert bestimmen - n im Exponent

25.04.2014, 23:04	Jaso	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen - n im Exponent Hallo, ich möchte zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray} 1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n} \end{eqnarray}$ gegen 1 konvergiert. Ich muss das mit der Definition des Grenzwertes zeigen, also $\begin{eqnarray} \forall \in>0 \exists n_{0} \forall n\geq n_{0}:\| a_{n}-a \| < \in \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, das ich den Exponent der Folge nicht wegbekomme. Ich habe es mit dem Logarithmus versucht, aber dann kann ich kein n0 benennen, ab dem das gilt. Mein Ansatz ist: $\begin{eqnarray} \| 1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n} - 1\| = \| -\left(\frac{1}{10}\right)^{n} \| = \left(\frac{1}{10}\right)^{n} \end{eqnarray}$ Anders habe ich es als Gleichung versucht mit: $\begin{eqnarray} \| 1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n} - 1\| < \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| -\left(\frac{1}{10}\right)^{n} \| <\in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{10}\right)^{n} < \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n log(0,1) < log(\in) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > \frac{log(\in)}{log(0,1)} \end{eqnarray}$ So, und was wäre nun mein n0? Denn ich suche ja ein n0 so dass es für alle n größer gleich n0 gilt.
25.04.2014, 23:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt jetzt, dass $\begin{eqnarray} \|a_n-a\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n > \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)} \end{eqnarray}$ gilt. Meistens wird gefordert, dass $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist. Also könnten wir jetzt $\begin{eqnarray} n_0=\left\lceil\frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}\right\rceil \end{eqnarray}$ nehmen. Wenn aber schon $\begin{eqnarray} \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist, dann wäre $\begin{eqnarray} \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}=\left\lceil \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}\right\rceil \end{eqnarray}$ . Also wäre dann $\begin{eqnarray} n\geq n_0=\left\lceil \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}\right\rceil=\frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)} \end{eqnarray}$ . Dann wäre aber auch $\begin{eqnarray} n=\frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)} \end{eqnarray}$ möglich. Um das zu umgehen, addieren wir einfach noch +1 zu unserem $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , dann kann da nichts mehr passieren. $\begin{eqnarray} n_0=\left\lceil\frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}\right\rceil +1 \end{eqnarray}$ Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass dieser Ausdruck für $\begin{eqnarray} \epsilon \geq 1 \end{eqnarray}$ keine natürliche Zahl ergibt (falls man die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählt). Dann könnte man folgendes machen: $\begin{eqnarray} n_0=\max\left\{1,\left\lceil\frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}\right\rceil +1\right\} \end{eqnarray}$
26.04.2014, 10:05	Jaso	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke, ich verstehe das mit diesem n0 halt irgendwie noch nicht so ganz, da es doch schon für alle $\begin{eqnarray} n > \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)} \end{eqnarray}$ gilt und nicht erst wenn n größer ist als $\begin{eqnarray} n > \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)} +1 \end{eqnarray}$ ... Setze ich die Schranke bzw. die Anforderung nicht dann höher an als sie muss oder ist das egal?
26.04.2014, 12:03	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es gilt schon, wenn $\begin{eqnarray} n > \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)} \end{eqnarray}$ ist. Das mit dem Aufrunden und 1 addieren machen wir nur, damit $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ wirklich eine natürliche Zahl ist. Denn das muss bei $\begin{eqnarray} \frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)} \end{eqnarray}$ nicht so sein. Dass wir nicht unbedingt das kleinste $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ gefunden haben, ist dabei egal. Wichtig ist nur, dass wir ein passendes $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ finden. In der Definition der Konvergenz wird ja auch nicht gefordert, dass man ein möglichst kleines $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ braucht, sondern nur irgendeins. Wir könnten also auch $\begin{eqnarray} n_0=\max\left\{1,\left\lceil\frac{\log(\varepsilon)}{\log(0,1)}\right\rceil +100000\right\} \end{eqnarray}$ nehmen.

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