Natürliche Logarithmen MatheLK Beweisen

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mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche Logarithmen MatheLK Beweisen
Meine Frage:
Hallo liebes Forum,
gehe momentan in die 11. Klasse und hab Schwerpunktkurs Mathe, wo ich leider mündlich momentan total abkacke, weshalb ich versuche mich etwas vorzubereiten ab jetzt auf den Unterricht. Soviel im Voraus..

Unser Lehrer hat den Beweis für folgendes gesucht:

f(x)= b^x
f'(x)= ln(b) * b^x

Dieses soll begründet/bewiesen werden.


Freue mich über jede Hilfe!!!

Meine Ideen:
Eigene Idee:

einen Graphen zu b^x zeichen, mit einer Zahl als "b" und dazu die Ableitung zeichnen.
-> Übereinstimmung der Steigung würde doch den Beweis liefern, oder?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Zeichnung ist relativ ungenau. Als Beweis wird das nicht durchgehen.

Hast du eine Idee, wie du b^x mittels der e-Funktion ausdrücken kannst? Augenzwinkern
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

Bin der Verfasser dieser Frage hab mich grad nur angemeldet.. Big Laugh

Meinst du damit anstelle von b das e einzusetzen? verwirrt

oooder

f(x)=ln^e
f'(x)= ln(b) * b^e

Verstehe den gedanken dahinter nicht Hammer Tränen
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen on board smile .

Nein, ich meine die e-Funktion. Du kannst ja jede beliebige Zahl über die e-Funktion (und den Logarithmus) ausdrücken:



Mach das mal für b^x. Was erhältst du? Wie führt dich das weiter?


Solange du probierst bin ich essen.
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst einmal danke für die freundliche Aufnahme! smile Gott

Sorry hatte da grad was verwechselt.
Ich wäre dir nochmal dankbar wenn du mir nur noch erklärst, warum ich die FUnktion mittels e-Funktion ausdrücken soll, einfach nur als Umschreibung, um die Ableitung auch umzuschreiben und das Ganze gleichzusetzen?



Das einsetzen ergibt dann :

e^ln(b^x) = b^x


Guten Appetit!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die e-Funktion läßt sich leichter ableiten, weil man schlicht und ergreifend die Ableitung der e-Funktion kennt. Vor dem Ableiten von mußt du noch den Exponenten mit einem Logarithmusgesetz umformen. smile
 
 
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

AAAAh, danke!

Mit dem dritten Logarithmusgesetz vielleicht?

Also:

e^ln(b^x) = e^ (x * ln(b))
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so soll das aussehen.
Die Ableitung der e-Funktion sollte nun leicht fallen. Probier es Augenzwinkern .
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

traurig traurig traurig traurig Egal was ich versuche ich komme nicht auf die von dem Lehrer vorgegebene erste Ableitung f'(x)= ln(b) * b^x

Sondern nach dem Auflösen von dem e durch das ln bleibt x*b

Sorry wenn ich wirklich flache Fragen stelle, kann daran liegen, dass heute Samstag ist Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig mir doch mal, was bei dir genau stehen bleibt. Die e-Funktion sollte ja noch da sein. Diese selbst ändert sich ja beim Ableiten nicht. Diese können wir danach wieder zurückumwandeln Augenzwinkern .
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

Alsoo

hab ja mit der e-Funktion und dem angewandten Logarithmusgesetz ide Gleichung:

f(x) = e^ x * ln(b)

wenn ich das jetzt nach den Ableitungsgesetzen ableite:

kommt da raus: f'(x) = x * ln(b) * e^ (x * ln(b)) - 1 oder nicht? Hammer
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Dem ist leider nicht so.

Frage:
g(x) = e^x

Was ist g'(x)?

Frage 2:
h(x) = e^(ax)

Was ist h'(x)?
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

Achja Hammer e-Funktionen haben ja spezielle Ableitungsregeln :I Big Laugh

g'(x)= e^x -> Stammfunktion und Ableitungsfunktion stimmen überein

h'(x)= 1/a * e^(ax)




Womit dann die Ableitung der befragten Funktion lautet :

ln(e)* e^(x*ln(b) ? wenn ich mich nicht wieder irre böse
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
h'(x)= 1/a * e^(ax)


Das passt nicht. Die Ableitungsregel für die e-Funktion besagt, dass der Vorfaktor der Ableitung des Exponenten entspricht. Es wäre also h'(x) = a*e^(ax) Augenzwinkern .

Das hast Du wohl auch für die Ableitung von f(x) verwendet? Nur warum hast Du im Logarithmus (also im Vorfaktor) ein e drin? Wo kommt das e her?
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

Würde das bedeuten, dass die Ableitung lautet:

(x*ln(b)) * e^ x * ln(b) ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun leider schon wieder weg.

Du hast die Sache aber schon fast beendet, deswegen fasse ich es nochmals kurz zusammen.

f(x) umschreiben in eine e-Funktion.

f(x) = b^x = e^(ln(b^x)) = e^(x*ln(b))

f'(x) = ln(b)*e^(x*ln(b)) = ln(b)*b^x


e^(x*ln(b)) war ja bei f(x) unser Hilfsmittel das umzuschreiben Augenzwinkern . Das schreiben wir nun wieder normal.


Alles klar? Ansonsten bin ich später wieder da


P.S.: Das x muss weg. x*ln(b) abgeleitet ist ln(b) Augenzwinkern
mrmoggi Auf diesen Beitrag antworten »

Dankedankedanke!!!

Einzige Frage bzw. Unsicherheit ist, warum das b^x am ende? Das ist doch b hoch x weil ln*(b) ist, nur um das ganze 10000% sicher drauf zu haben.. Big Laugh

Aber ansonsten vielenvielen dank! Danke vielmals, hast mir wirklich sehr geholfen!
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
as ist doch b hoch x weil ln*(b) ist,


Das alleine reicht nicht aus.

Es ist b^x, da e^(x*ln(b)) = e^(ln(b^x)) = b^x ist. Genau andersrum, wie wir es vorher verwendet hatten Augenzwinkern .
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