Induktion - Logigkfehler gesucht

26.04.2014, 12:15

akamanston

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Induktion - Logigkfehler gesucht

Guten Morgen=)

Einfarbige Gegenstände haben stets dieselbe Farbe, denn mittels vollständiger Induktion gilt: Ein einfarbiger Gegenstand besitzt eine Farbe. Von n+1 Gegenständen haben die ersten n nach Induktionsannahme dieselbe Farbe, die letzten n eebenfalls, also beitzen n+1 einfarbigen Gegenstände ebenfalls dieselbe Farbe.

Help plz

26.04.2014, 12:18

10001000Nick1

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Versuch mal den Induktionsschritt für n=1, also von n=1 auf n+1=2 zu schließen.

26.04.2014, 20:26

akamanston

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hm, ich komm nicht klar. ich brauch doch irgendeine gliechung oder so. mit deinem tipp kann ich überhaupt nichts anfangen.

26.04.2014, 20:32

Helferlein

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RE: Induktion - Logigkfehler gesucht
Ich übernehme mal kurz für Nick:

Zitat:

Original von akamanston
Von n+1 Gegenständen haben die ersten n nach Induktionsannahme dieselbe Farbe, die letzten n eebenfalls,

Bedeutet für n=1, dass bei 2 Gegenständen je einer dieselbe Farbe (wie er selbst) hat. Wie sollte man daraus schließen, dass auch beide dieselbe Farbe haben?

26.04.2014, 20:36

10001000Nick1

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Wieso brauchst du eine Gleichung?

Ich versuche mal, den Induktionsschritt etwas ausführlicher zu beschreiben, vielleicht siehst du dann den Fehler:
Nach Induktionsvoraussetzung haben n Elemente die selbe Farbe. Wenn man jetzt eine Menge von n+1 Elementen hat, beispielsweise $\begin{eqnarray*} \{a_1, a_2, ..., a_{n+1}\} \end{eqnarray*}$ , dann teilt man diese Menge auf in zwei n-elementige Mengen $\begin{eqnarray*} \{a_1, a_2, ..., a_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a_2, a_3, ..., a_{n+1}\} \end{eqnarray*}$ . Innerhalb dieser beiden Mengen haben laut Induktionsvoraussetzung alle Elemente dieselbe Farbe. Weil das Element $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ in beiden Mengen enthalten ist, haben also alle Elemente $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, ..., a_{n+1} \end{eqnarray*}$ dieselbe Farbe.

Und jetzt guck mal, was da bei n+1=2 schiefgeht.

26.04.2014, 20:46

akamanston

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Zitat:

Original von 10001000Nick1Und jetzt guck mal, was da bei n+1=2 schiefgeht.

Wieso denn =2?

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26.04.2014, 20:49

10001000Nick1

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Weil n+1=2 die einzige Stelle ist, wo dieser Induktionsschritt nicht funktioniert (und damit die ganze Induktion). Für alle anderen n würde dieser Induktionsschritt funktionieren.

26.04.2014, 21:05

akamanston

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hm naja ich glaub ich bin zu dumm für die aufgabe. ich könnts mir noch 1000 mal durchlesen, ich würds net checken

26.04.2014, 21:07

10001000Nick1

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Wenn n+1=2 ist, dann haben wir die (n+1)-elementige Menge $\begin{eqnarray*} \{a_1, ..., a_{n+1}\}=\{a_1, a_2\} \end{eqnarray*}$ . Jetzt teile das mal in die beiden n-elementigen Mengen (also einelementige Mengen) auf, wie ich es oben geschrieben habe.

26.04.2014, 21:14

akamanston

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
teilt man diese Menge auf in zwei n-elementige Mengen $\begin{eqnarray*} \{a_1, a_2, ..., a_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a_2, a_3, ..., a_{n+1}\} \end{eqnarray*}$

was ist denn das für eine Aufteilung. Wer entscheidet, wo die Menge 2 beginnt. Bei dir beginnt sie bei a2. Wieso kommen da Elemente doppelt vor.

wenn ich zB Menge ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) aufteile kann ich das auch ( 1 , 2 , 3 , 4 ) und ( 5 ) aufteilen.

26.04.2014, 21:17

10001000Nick1

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In diesem Induktionsschritt wurden diese zwei Mengen nunmal so gebildet, wie oben beschrieben.
Vielleicht war "aufteilen" nicht das richtige Wort, denn die zwei Mengen müssen natürlich nicht disjunkt sein, es kann also dasselbe Element in beiden Mengen vorkommen.

27.04.2014, 00:04

akamanston

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ich komm von der aufgabe nicht weg. den ganzen tag verschwende ich wegen dem sch... und blockiere andere sachen. also nochmal

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Weil das Element $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ in beiden Mengen enthalten ist, haben also alle Elemente $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, ..., a_{n+1} \end{eqnarray*}$ dieselbe Farbe.

wieso nur a2, da sind doch fast alle Elemente in beiden mengen, außer a1 und an+1 glaub ich

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Wenn n+1=2 ist, dann haben wir die (n+1)-elementige Menge $\begin{eqnarray*} \{a_1, ..., a_{n+1}\}=\{a_1, a_2\} \end{eqnarray*}$

wieso ist da in der klammer nur a1 und a2 ? ist das wegen n+1=2?

edit:
ich geh mal die aufgabe satz für satz bissl durch.

Ein einfarbiger Gegenstand besitzt eine Farbe.
also haben wir hier die Menge $\begin{eqnarray*} M_{1}= \{a_1, a_2, ..., a_n\} \end{eqnarray*}$
Von n+1 Gegenständen haben die ersten...
und bei dem satzteil wäre die Menge $\begin{eqnarray*} M_{2}= \{a_1, a_2, ..., a_n+1\} \end{eqnarray*}$

oder? gibt es denn kein induktionsanfang wo man irgndwo n=1 machen muss

27.04.2014, 00:09

10001000Nick1

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Zitat:

Original von akamanston
wieso nur a2, da sind doch fast alle Elemente in beiden mengen, außer a1 und an+1 glaub ich

Ich habe ja auch nicht gesagt, dass $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ das einzige Element ist, das in beiden Mengen enthalten ist.

Zitat:

Original von akamanston
wieso ist da in der klammer nur a1 und a2 ? ist das wegen n+1=2?

Ja.

Zitat:

Original von akamanston
gibt es denn kein induktionsanfang wo man irgndwo n=1 machen muss

Doch, das ist gerade der Satz "Ein einfarbiger Gegenstand besitzt eine Farbe." Da hat man n=1 Gegenstand, also haben alle Gegenstände dieselbe Farbe (weil wir ja nur einen Gegenstand haben).

27.04.2014, 00:26

akamanston

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und wie würde n+1=3 ausschauen?

btw. steht eigentlich die lösung meiner aufgabe schon im thread? ernstgemeint

27.04.2014, 00:45

10001000Nick1

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Bei n+1=3 hätten wir die Menge $\begin{eqnarray*} \{a_1, a_2, ..., a_{n+1}\}=\{a_1, a_2, a_3\} \end{eqnarray*}$ . Aber das ist hier eigentlich nicht wichtig.

Zitat:

Original von akamanston
btw. steht eigentlich die lösung meiner aufgabe schon im thread?

Eigentlich schon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gehen wir mal zurück zu n+1=2. Da ist $\begin{eqnarray*} \{a_1, ..., a_{n+1}\}=\{a_1, a_2\} \end{eqnarray*}$ und außerdem $\begin{eqnarray*} \{a_1, a_2, ..., a_n\}=\{a_1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a_2, a_3, ..., a_{n+1}\}=\{a_2\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hatte ich ja hier geschrieben, dass diese beiden letzten Mengen (mind.) ein gemeinsames Element besitzen. Und jetzt kommt das Wichtigste (!!!): Das gilt nur für $\begin{eqnarray*} n+1\geq 3 \end{eqnarray*}$ . Denn wie du siehst, sind die beiden Mengen für n+1=2 disjunkt.
Deswegen funktioniert dieser Induktionsschritt nicht für n+1=2.

Jetzt verstanden? smile

smile

Ich bin jetzt erstmal weg. Bis morgen! smile

smile

27.04.2014, 01:19

akamanston

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Das gilt nur für $\begin{eqnarray*} n+1\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

Am Anfang haben wir doch gesagt das gilt für alle aus n+1=2 ??? gibt es nichts kleineres vorher wie zB n=1 oder so (schlecht ausgedrückt)

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Denn wie du siehst

Big Laugh

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Jetzt verstanden? smile

smile

Ich vermute nein, aber ich muss mal versuchen die ersten beispiele von n=1 bis n=4 aufschreiben, vlt erkenne ich dass dann Big Laugh

Big Laugh

so ne art idotenabsicherung

27.04.2014, 21:19

akamanston

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No way, ich verstehe es nicht.

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Das gilt nur für $\begin{eqnarray*} n+1\geq 3 \end{eqnarray*}$ . Denn wie du siehst, sind die beiden Mengen für n+1=2 disjunkt.

du machst doch den fall n+1=2. jetzt erwartest du von mir das ich da was sehe? ich versteh doch den fehlerhaften n+1=2 nicht.
-------------------------------------------------------------------
wie teilst du die mengen auf. die erste große menge versteh ich. die endet mit a_n+1, ganz allgemein. dann hast du das =2. da sehen wir die elemente a_1 und a_2. nur mal am rande. wieso sind die gleichgesetzt? müsste nicht a_1, a_2 teilmenge von der großen sein?

wieso zur hölle geht die zweite menge mit a_2 los.
geht n+1=3 mit a_3 los?

ich bin etz mal a hund und habs aufgeschrieben, daraus sollte man doch den fehler erkennen, glaube ich.
[attach]34045[/attach]

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Gehen wir mal zurück zu n+1=2. Da ist $\begin{eqnarray*} \{a_1, ..., a_{n+1}\}=\{a_1, a_2\} \end{eqnarray*}$ und außerdem $\begin{eqnarray*} \{a_1, a_2, ..., a_n\}=\{a_1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a_2, a_3, ..., a_{n+1}\}=\{a_2\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hatte ich ja hier geschrieben, dass diese beiden letzten Mengen (mind.) ein gemeinsames Element besitzen. Und jetzt kommt das Wichtigste (!!!): Das gilt nur für $\begin{eqnarray*} n+1\geq 3 \end{eqnarray*}$ . Denn wie du siehst, sind die beiden Mengen für n+1=2 disjunkt.

Wieso sind die zwei mengen disjunkt? die sind doch sehr ähnlich, die in der einen menge fehlt das a_1 und die andere hat zusätzlich noch a_n+1 mit drin. der rest ist gleich.
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du könntest mir mal vlt zwei beispiele für n+1=2 (geht nicht) und n+1=3 (funktioniert) gegenüberstellen. daran sollte ich dann wohl erkennen wo der fail ist

30.04.2014, 23:43

akamanston

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OK,
habe mit einem Freund darüber gesprochen und wir sind zu folgendem resultat gekommen.

technisch gesehen ist die induktion problemlos durchführbar. jedoch ist die voraussetzung "ein einfarbiger gegenstand besitzt eine farbe" unpassend zur ausgeführten induktion.
die induktion besagt nämlich, dass wenn n gegenstände einfarbig sind auch n+1 gegenstände farbig sind. das passt jedoch nicht zur oben genannten voraussetzung. richtig wäre die induktion, wenn es heißt: wenn der gegenstand an n-stellen(punkten) farbe x hat dann hat der gegenstand auch an n+1 stellen die farbe x. damit ist die einfarbigkeit bewiesen. das wäre meines erachtens die passende induktion. habe ich das richtigverstanden? deine mathematische erkärung raff ich bis heute nicht.

01.05.2014, 14:46

10001000Nick1

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Hmm, ich weiß jetzt nicht mehr wirklich, was ich noch schreiben soll. Ich könnte nur nochmal das wiederholen, was ich oben schon geschrieben habe.

Wenn vielleicht noch jemand anderes eine bessere Erklärung hat: Her damit! smile

smile

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