Uneigentliches integral Konvergenz untersuchen

26.04.2014, 13:39

simgeis

Uneigentliches integral Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Hallo allerseits, ich soll:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{0} \frac{x dx}{x^2 +x+1} \end{eqnarray*}$

auf konvergenz untersuchen.

Meine Ideen:
Ok, ich muss Majorantenkriterium einsetzen,
aber das einzige was mir einfällt ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

was mir aber nichts bringt, weil es ja dann heißen würde, dass es nicht konvergiert. Wolframalpha sagt aber was anderes. Soll ich Partialbruchzerlegung machen? Glaube aber irgendwie, dass ich nicht viel davon habe, weil der Nenner nur komplexe Nullstellen hat.

LG simgeis smile

26.04.2014, 14:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von simgeis
Wolframalpha sagt aber was anderes.

Was sagt es denn? Augenzwinkern

26.04.2014, 14:19

simgeis

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Oh tut mir Leid,

er hat xdx als D angesehen(keine Ahnung warum)

Das Integral konvergiert also nicht.

Aber reicht 1/x aus? 1/x ist ja kleiner als der Term und 1/x konvergiert nicht.

Lg

26.04.2014, 14:33

HAL 9000

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Eigentlich ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+x+1} < \frac{1}{x} < 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ ,

und das ist ja auch ganz Ok für die gewünschte Abschätzung, oder?

26.04.2014, 15:05

simgeis

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Ja, aber stimmt das denn auch mit Beträgen? Das mit der Null schon mal nicht Big Laugh

da sind ja gerade und ungerade potenzen im bruch, da stimmt das mit dme betrag nicht mehr oder?

Weil das kriterium geht über Beträge

26.04.2014, 18:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von simgeis
Ja, aber stimmt das denn auch mit Beträgen?

Was das für die Beträge bedeutet, solltest du dir ja gerade SELBST überlegen!!!

26.04.2014, 18:54

simgeis

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Naja man kann den Bruch ja auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1+\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Für positive x: $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{x+1+\frac{1}{x}} | \leq | \frac{1}{x} | \end{eqnarray*}$

für negative: $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{x+1+\frac{1}{x}} | \geq | \frac{1}{x} | \end{eqnarray*}$

Und da die Integration über negative x erfolgt, kann man sagen, dass sie größer ist, und somit 1/x eine divergente minorante ist?

26.04.2014, 19:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von simgeis
für negative: $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{x+1+\frac{1}{x}} | \geq | \frac{1}{x} | \end{eqnarray*}$

Ich hab oben nicht ohne Grund $\begin{eqnarray*} x\leq -1 \end{eqnarray*}$ geschrieben - für die gilt das, und das reicht ja letzten Endes auch für das Minorantenkriterium. Freude

Für die restlichen negativen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} -1<x<0 \end{eqnarray*}$ , ist diese Ungleichung aber falsch - setz doch z.B. mal $\begin{eqnarray*} x=-0.5 \end{eqnarray*}$ ein. Augenzwinkern

26.04.2014, 19:07

simgeis

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Na gut, dann kann ich ja letztendlich nichts damit anfangen, wenn es von -1 gegen 0 nicht mehr stimmt... verwirrt