Komplex konjugierte Funktion

26.04.2014, 14:50

Vitow

Komplex konjugierte Funktion

Guten Tag!

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ offen. Betrachten Sie die folgenden Differentialoperatoren

$\begin{eqnarray*} \partial : C^1(\Omega) \rightarrow C(\Omega), \partial g := \frac{1}{2}(\frac{\partial g}{\partial x} -i \frac{\partial g}{\partial y}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{\partial} : C^1(\Omega) \rightarrow C(\Omega), \overline{\partial} g := \frac{1}{2}(\frac{\partial g}{\partial x} +i \frac{\partial g}{\partial y}) \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie für $\begin{eqnarray*} g \in C^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \overline{\partial}g = \overline{\partial \overline{g}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{\partial} \overline{g} = \overline{\partial g} \end{eqnarray*}$ .

Probleme

Wie konjugiere ich g? Es gilt doch $\begin{eqnarray*} \overline{g(x,y)}=g(x,-y) \end{eqnarray*}$ , richtig?
Allerdings kann ich jetzt ja nicht einfach das Vorzeichen vor dem $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ umdrehen, das würde ja bei $\begin{eqnarray*} g=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=y^2 \end{eqnarray*}$ schon Probleme machen.

Meine Idee also:
$\begin{eqnarray*} \overline{g(x,y)}=g \circ f (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,-y) \end{eqnarray*}$ und dann mit Kettenregel rechnen.
Allerdings kriege ich das nicht hin und würde hier Hilfe brauchen.

Liebe Grüße

26.04.2014, 16:33

weisbrot

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RE: Komplex konjugierte Funktion

Zitat:

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} \overline{g(x,y)}=g(x,-y) \end{eqnarray*}$ , richtig?

nein! (ich gehe mal davon aus, dass g eine komplexe funktion sein soll) g sieht dann so aus: $\begin{eqnarray*} g(x,y) = u(x,y) + i\cdot v(x,y) \end{eqnarray*}$ , und entsprechend $\begin{eqnarray*} \overline{g}(x,y) = \overline{g(x,y)} = u(x,y) - i\cdot v(x,y) \end{eqnarray*}$ (wobei u, v reelle funktionen sind).
lg

26.04.2014, 16:50

Vitow

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RE: Komplex konjugierte Funktion
Hallo weisbrot!

Okay! Ich war zu sehr darauf fixiert, dass wenn ich $\begin{eqnarray*} x+iy \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ identifiziere, $\begin{eqnarray*} \overline{x+iy}=(x,-y) \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn nun $\begin{eqnarray*} g(x,y)=u(x,y)+i \cdot v(x,y) \end{eqnarray*}$ ist,

gilt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$

(analog für $\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{g} \end{eqnarray*}$ )?

Ich bin mir hier unsicher, da ich ja nicht weiß, ob $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ holomorph ist.

MfG

26.04.2014, 17:00

weisbrot

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RE: Komplex konjugierte Funktion
g muss zumindest partiell differenzierbar sein, sonst ist das was in der aufgabe steht ja nicht definiert. in dem fall ist dann natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$ .
lg

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