Summe zeigen

26.04.2014, 15:02

akamanston

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Summe zeigen

Hallo wie gehts, hoffe ihr könnt mir kurz helfen.
Folgendes ist zu zeigen
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (-1)^{i} \begin{pmatrix} n \\ i \\ \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Ich hab ja auch erkannt, dass sich die summe aufhebt. Die Summe stellt eine - ich drück es mal so aus- alternierende n-te Zeile des pascalschen Dreiecks aus.

Ichh habe das halt durch ein beliebig gewähltes n gezeigt. Da sieht man das gut. Aber ist das der richtige "Beweis"?

Ich glaube nämlich, dass man die Summe igendwie umformen kann und man dann noch leichter (ohne Auswahl von n) sieht, dass die Summe 0 ergibt. Den Binomialkoeffizient habe ich schon in den einen Bruch umgeformt, aber das bringt mich nicht weiter.

26.04.2014, 15:05

bijektion

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Zitat:

Ichh habe das halt durch ein beliebig gewähltes n gezeigt.

D.h.? Hast du eine Zahl ausgewählt und die Summe ausgerechnet? Das würde natürlich nicht reichen.

26.04.2014, 15:16

akamanston

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ja genau. ich habe erstmal n=3 gewählt. wenn man dann die summe bildet, erkennt man, dass =0 herauskommt. ich weiß schon selber, dass das wohl zu wenig ist, vor allem weil eine andere teilaufgabe durch geschickte umformung zu lösen war. so eine umformung erwarte ich hier auch. aber irgendwie sehe ich nicht wie.

ich habe noch diese umformung parat.
$\begin{eqnarray*} \prod \limits_{k=1}^j \frac{n-k+1}{k} =\begin{pmatrix} n \\ j \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit komme ich aber auch nciht weiter

26.04.2014, 15:32

Gast11022013

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Wenn du den binomischen Lehrsatz kennst bist du in 2 Sekunden fertig.

26.04.2014, 15:47

akamanston

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den habe ich auch

klar kenn ich den satz.

soll ich etwas (-0,5 + (-0,5))^n umformen? das hab ich in der aufgabe zuvor schon gemacht.

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n} = \sum\limits_{j=0}^n \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} a^{n-j} b^{j} \end{eqnarray*}$

26.04.2014, 15:55

Gast11022013

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Zitat:

Original von akamanston

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n} = \sum\limits_{j=0}^n \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} a^{n-j} b^{j} \end{eqnarray*}$

Dann vergleiche mal die Summe die du für den biomischen Lehrsatz brauchst, und die Summe die du hast.

Was würde fehlen damit du den binomischen Lehrsatz anwenden kannst?

Edit:

Zitat:

soll ich etwas (-0,5 + (-0,5))^n umformen? das hab ich in der aufgabe zuvor schon gemacht.

Ja, es ist ähnlich.

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26.04.2014, 16:00

akamanston

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der binomialkoeffizient ist in beiden enthalten. das ^i meiner summer ist von mir aus das b^j. dann fehlt nur noch das a^(n-j)

26.04.2014, 16:02

Gast11022013

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Genau, es fehlt noch ein Faktor. Wenn du jetzt also einen Faktor $\begin{eqnarray*} a^{n-i} \end{eqnarray*}$ noch in deinen Summenausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^ia^{n-i} \end{eqnarray*}$

einfügen kannst, der die Summe nicht verändert (da gibt es eigentlich nur eine Möglichkeit) dann bist du am Ziel.

26.04.2014, 16:08

akamanston

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ich weiß gar nicht woher du die 2 sekunden herziehst. so eine verrückte angabe. was mache ich jetzt überhaupt. was hat das damit zu tung das der ausdruck =0 ist

26.04.2014, 16:11

Gast11022013

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Wenn man sieht, dass man den binomischen Lehrsatz anwenden kann, weiß man ja eigentlich auch schon welchen Faktor man einfügt. Und dann schreibt man es kurz hin und ist nun mal sehr schnell fertig, vielleicht nicht in 2 Sekunden aber mehr als eine Zeile ist es dann nicht mehr, wenn man die richtige Idee hat.

Zitat:

was hat das damit zu tung das der ausdruck =0 ist

Weil zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} (1-1)^n=0 \end{eqnarray*}$

ist.

26.04.2014, 16:26

akamanston

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^ia^{n-i} b^{i} \end{eqnarray*}$

26.04.2014, 16:27

Gast11022013

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Nein.

Welcher Faktor lässt ein Produkt denn unverändert?

26.04.2014, 16:29

akamanston

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^ia^{n-i} a^{-(n-i)} \end{eqnarray*}$

26.04.2014, 16:35

Gast11022013

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Nein.
Du fügst hier keine Variable a ein, sondern eine "normale" Zahl um ans Ziel zu kommen.
Wir dürfen ja den Ausdruck in der Summe nicht verändern. Und es gibt nur eine Zahl, die man multipliziert die dies leistet. Welche?
Und diese Zahl kannst du auch beliebig oft mit sich selbst multiplizieren ohne, dass sich ihr Wert ändert.

26.04.2014, 16:36

akamanston

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^ia^{n-i} (-1)^i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^i \times (1)^i= (-1+1)^{i} \end{eqnarray*}$

26.04.2014, 16:38

Gast11022013

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Warum denn immer dieses $\begin{eqnarray*} a^{n-i} \end{eqnarray*}$ ?

Aber 1 ist richtig. Und $\begin{eqnarray*} 1=1^{n-i} \end{eqnarray*}$ und dann hast du es:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^i\cdot 1^{n-i}=...=...=0 \end{eqnarray*}$

26.04.2014, 16:41

akamanston

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Genau, es fehlt noch ein Faktor. Wenn du jetzt also einen Faktor $\begin{eqnarray*} a^{n-i} \end{eqnarray*}$ noch in deinen Summenausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(-1)^ia^{n-i} \end{eqnarray*}$

einfügen kannst, der die Summe nicht verändert (da gibt es eigentlich nur eine Möglichkeit) dann bist du am Ziel.

weil du es hier geschrieben hast. deshalb benutze ich es die ganze zeit. jetzt wird aber klar das ich den dein satz hier nicht richtig verstanden habe.

26.04.2014, 16:44

Gast11022013

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Ja, aber du solltest dieses a ja so wählen, dass es den Ausdruck nicht verändert und eine "normale" Zahl ist.
Zugegebenermaßen war das vielleicht etwas verwirrend. Ich dachte es wäre klar was ich meine.

Aber jetzt kommst du zum Ziel?

26.04.2014, 16:46

akamanston

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ja ich denke schon. ich bin erleuchtet. danke für deine engelsgeduld=)
ich komme wieder! Big Laugh

Big Laugh

ciao

26.04.2014, 16:50

Gast11022013

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Ansonsten war dein erster Gedanke es ja für ein n-Wert explizit zu berechnen. Damit zeigst du die Gleichheit aber natürlich nur für diesen einen Wert. Du möchtest es aber gerne für alle natürlichen Zahlen zeigen. Und dann ist normalerweise Induktion das Stichwort.

Gern geschehen.

Zitat:

Original von akamanston
Klick

26.04.2014, 16:58

akamanston

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Klick

Ja mein aller erster gedanke als ich die form sah, dachte ich in vollständige Induktion. aber das geht hier ja nicht weils =0 ist ?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom nk = 2^n. \end{eqnarray*}$
das hier kann man sicher per induktion zeigen?

26.04.2014, 16:59

Gast11022013

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Ja, das könntest du mit Induktion zeigen.... oder mit dem binomischen Lehrsatz.

Klick

Edit:

Mit dem binomischen Lehrsatz bist du übrigens in 2 Sekunden fertig.

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