Parameter bestimmen, dann vollständige Induktion

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Tempi Auf diesen Beitrag antworten »
Parameter bestimmen, dann vollständige Induktion
Meine Frage:
Hey,
wir haben jetzt in der Vorlesung mit vollständiger Induktion begonnen. Habe auch schon die ein oder andere Aufgabe gelöst in Stile vom Beweis von Gauß oder auch Teilbarkeiten.
Nur jetzt bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Teil 1:
Ich soll die Parameter und so bestimmen, dass die Beziehung für vier Werte von richtig ist.

Teil 2:
Ich soll mit vollständiger Induktion zeigen, dass die entstandene Summenformel für alle Gültigkeit besitzt.

Meine Ideen:
Also Teil 2 würde ich nach bekanntem Schema angehen. Aber der erste Teil sticht aus dem Stil heraus wie ich die Aufgaben zur vollständigen Induktion bisher gesehen habe. Dem entsprechend stehe ich jetzt irgendwie auf dem Schlauch.

Kann mir jemand helfen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte so zu lösen sein wie du vor ein paar Monaten noch diese "Funktionsgleichung-Rekonstruktions-Aufgaben" in der Schule gelöst hast.

Siehe dies also als eine Art Funktionsgleichung dritten Grades an.
Jetzt brauchst du nur noch 4 Gleichungen um es zu lösen.
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Also 4 Gleichungen aufstellen mit z.B n= 0; 1; 2 und 3?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kommt aber auch darauf an ob du n=0 nehmen darfst, weil der Startindex ja k=1 ist. Aber normalerweise hat man dann eine "leere Summe".
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Habe n von 1 bis 4 genommen. Man war das eine Schreibarbeit.

Also ist









Dann widme ich mich jetzt mal dem zweiten Teil.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Du hättest aber auch denke ich n=0 ohne Probleme nehmen können.

Außerdem ist diese Form:



etwas unschön, da man gerne in den natürlichen Zahlen bleibt.

Schreibe lieber:



Den Nenner könntest du auch noch Faktorisieren. Die Formel gibt man glaube ich üblicherweise in faktorisierter Form an.
 
 
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss doch dann jetzt einfach das zeigen oder?

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich hab dann mal so angefangen:



Induktionsanfang:



Induktionsschritt:

Dann muss auch gelte:


Also:


Jetzt muss ich doch die rechte Seite so umformen, dass die rechte Seite bei "Dann muss auch gelten" herauskommt oder? verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Bei der letzten Summe hast du einen Tippfehler drin. Die muss nur bis n laufen.
Auch hier noch einmal die Anmerkung, dass du den Induktionsanfang auch für n=0 hättest festhalten können.

Des Weiteren schreibst du irgendwie im Verlauf zwei mal ^3 im zweiten Summanden. Das muss natürlich nur ein ^2 sein.
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetzt mal die Induktionsvoraussetzung ausgerechnet:



Und dann das aus dem Induktionsschritt:





Okay das war jetzt ziemlich ausführlich Hammer aber das war ja dann der Beweis und die vollständige Induktion ist abgeschlossen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, damit weißt du zumindest, dass



ist.

So würde man es aber eher nicht aufschreiben, dass du einfach beide Seiten ausrechnest und guckst ob es das selbe ist.

Vielleicht eher so:




Du weißt ja wo du hin willst. Wenn du dann weißt wie die binomischen Formeln lautet, dann sieht man auch recht schnell wie man sich aus den obigen Summanden das gewünschte zusammenbauen kann.
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Puh um das direkt zu sehen brauch ich wohl noch etwas mehr Übung was 3. Potenzen angeht. Aber klar, logisch, jetzt wo es dasteht.

Dann sag ich mal vielen Dank und vllt bis zur nächsten Aufgabe Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich auswendig wissen tue ich eigentlich auch nur (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 und eben die ganz normalen binomischen Formeln.

Wenn du das Pascalsche Dreieck kennst, dann kann man es vielleicht auch damit erkennen, also wenn in den Summanden eine gewisse "Symmetrie" vorhanden ist, was die Koeffizienten angeht. In diesem Fall eben 1,3,3,1
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Pascalsche Dreieck ist mir auch gleich in den Kopf gekommen. Ich merk mir fürs erste auch mal (n+1)³
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