Pauli-Matrizen

26.04.2014, 18:29

Van Thom

Pauli-Matrizen

Ich soll folgendes berechnen. Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \sigma_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}~,~\sigma_2=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}~,~\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} i,j,k\in\{1,2,3\}: \end{eqnarray*}$
a) $\begin{eqnarray*} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k \end{eqnarray*}$ und

b) $\begin{eqnarray*} \{\sigma_i\sigma_j\}=2\delta_{ij}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

a)

$\begin{eqnarray*} [\sigma_1\sigma_2]=\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=2i\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=2i\sigma_3 \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht wie man noch den Levi Civita Tensor anwendet. Das haben wir noch nicht gemacht. Es wurde uns nur die Definition gegeben. Kann mir jemand helfen?

b)

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also habe ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=2\delta_{ij}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Das kann nur Null werden wenn das Kronecker Delta Null ist. Ich weiß allerdings nicht wie man damit rechnet. Kann mir jemand helfen?

27.04.2014, 12:52

RavenOnJ

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RE: Pauli-Matrizen
zu a): Rechne einfach aus, so wie du es schon teilweise gemacht hast. Für die Kombinationen $\begin{eqnarray*} (i,j)\in\{(1,2),(2,3),(3,1)\} \end{eqnarray*}$ . Wenn du dann rausbekommen hast, dass $\begin{eqnarray*} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\sigma_k \end{eqnarray*}$ (wobei k der dritte Indexwert sein muss), dann ist alles bewiesen. Dass $\begin{eqnarray*} [\sigma_i,\sigma_j]=-[\sigma_j,\sigma_i] \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ mit sich selbst kommutieren, sollte klar sein. Der Levi-Civita-Tensor gibt dir nur in Abhängigkeit von einer beliebigen Indexkombination $\begin{eqnarray*} (i,j), i\not= j \end{eqnarray*}$ das richtige Vorzeichen, ansonsten 0. Erst mal nichts weiter als eine elegante Notation.

Interessanter wird es dann, wenn man Produkte von LC-Tensoren hat, beispielsweise wenn man sowas wie $\begin{eqnarray*} [[\sigma_i,\sigma_j],\sigma_k] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [[[\sigma_i,\sigma_j],\sigma_k],\sigma_m] \end{eqnarray*}$ ausrechnen will. Da ist dann die Notation mit den LC-Tensoren sehr nützlich.

27.04.2014, 13:02

RavenOnJ

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RE: Pauli-Matrizen

Zitat:

Original von Van Thom

b)

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also habe ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=2\delta_{\color{red}12}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Das Rote müsstest du verbessern, da die Gleichung natürlich nicht für alle Indexkombinationen i,j gilt, nur wenn i ungleich j. Auch hier hilft nur das Ausrechnen der Antikommutatoren bei gleichen Indizes und bei ungleichen wie oben. Das Kronecker-Delta gibt dir hier wieder nur eine elegante Notation für beliebige Indexkombinationen.

27.04.2014, 13:46

Van Thom

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RE: Pauli-Matrizen
Jetzt habe ich es glaube verstanden. Ich lege einfach mal los:

a) Die Definition des LC-Tensors ist: $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ijk}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } (i,j,k)\text{gerade Permutation von}~(123) \\ -1, & \mbox{falls }(i,j,k)\text{ungerade Permutation von}~(123) \\0, & \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Demnach gilt: $\begin{eqnarray*} \epsilon_{12} \end{eqnarray*}$ . Nun schaue ich mir die Permutationen von $\begin{eqnarray*} (1,2,3) \end{eqnarray*}$ an. Da sich jede Permutation als Transposition zweier Permutationen schreiben lässt erhalte ich: $\begin{eqnarray*} (1,2,3)=(1,2)(2,3) \end{eqnarray*}$ . Die Signatur ist demnach $\begin{eqnarray*} sign((1,2,3))=(-1)^2=1 \end{eqnarray*}$ also gerade.

Demnach erhalte ich für $\begin{eqnarray*} \epsilon_{12}=1 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist gezeigt das $\begin{eqnarray*} [\sigma_1,\sigma_2]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_3 \end{eqnarray*}$ gilt.

So richtig?

b)

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=2\delta_{12}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \delta_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=0=2\delta_{ij}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Schonmal lieben dank! smile

27.04.2014, 13:58

Van Thom

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RE: Pauli-Matrizen
Es soll natürlich:

b)

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=2\delta_{12}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 1\neq 2 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \delta_{12}=0 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=0=2\delta_{12}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$ lauten.

27.04.2014, 17:54

RavenOnJ

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RE: Pauli-Matrizen

Zitat:

Original von Van Thom
Jetzt habe ich es glaube verstanden. Ich lege einfach mal los:

a) Die Definition des LC-Tensors ist: $\begin{eqnarray*} \epsilon_{ijk}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } (i,j,k)\text{gerade Permutation von}~(123) \\ -1, & \mbox{falls }(i,j,k)\text{ungerade Permutation von}~(123) \\0, & \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Demnach gilt: $\begin{eqnarray*} \color{red}\epsilon_{12} \end{eqnarray*}$ . Nun schaue ich mir die Permutationen von $\begin{eqnarray*} (1,2,3) \end{eqnarray*}$ an. Da sich jede Permutation als Transposition zweier Permutationen schreiben lässt erhalte ich: $\begin{eqnarray*} (1,2,3)=(1,2)(2,3) \end{eqnarray*}$ . Die Signatur ist demnach $\begin{eqnarray*} sign((1,2,3))=(-1)^2=1 \end{eqnarray*}$ also gerade.

Demnach erhalte ich für $\begin{eqnarray*} \epsilon_{12}=1 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist gezeigt das $\begin{eqnarray*} [\sigma_1,\sigma_2]=2i\epsilon_{\color{green}123}\sigma_3 \end{eqnarray*}$ gilt.

So richtig?

b)

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=2\delta_{12}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \delta_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt: $\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=0=2\delta_{ij}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Erst mal vorab: es reicht, wenn du l schreibst statt latex, damit hast du weniger Schreibarbeit.

Ich weiß jetzt nicht, was du mit $\begin{eqnarray*} \color{red}\epsilon_{12} \end{eqnarray*}$ meinst. Soll das $\begin{eqnarray*} \delta_{12} \end{eqnarray*}$ heißen? Dann ist das hinter "demnach" allerdings keine Schlussfolgerung. Das mit den Permutationen ist genau die Definition. Ansonsten sollst du doch gerade zeigen, dass die Beziehung $\begin{eqnarray*} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k \end{eqnarray*}$ allgemein gilt, nicht für den speziellen Fall ijk = 123 (in den grünen Ausdruck verbessert). Dies einfach zu konstatieren aufgrund der Definition des LC-Tensors reicht nicht. Du musst dies schon explizit für die von mir genannten Indexkombinationen ausrechnen.

b) analog.

Edit: Du meinst anscheinend mit $\begin{eqnarray*} \color{red}\epsilon_{12} \end{eqnarray*}$ das relativ ungebräuchliche LC-symbol in zwei Dimensionen. Was dir das aber hier bringen soll, weiß ich nicht.

27.04.2014, 20:09

Van Thom

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RE: Pauli-Matrizen
Die genaue Aufgabe lautet Betrachten Sie die Pauli-Matrizen und zeigen Sie (für $\begin{eqnarray*} i,j,k\in\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ ):

a) $\begin{eqnarray*} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Mein Prof meinte nur das wir "nur mal eben" die Matrixmultiplikation einüben sollen lol.

Also wenn ich es allgemein zeigen soll weiß ich nicht genau wie ich daran gehen kann. Ich versuche es einfach mal.

a)

$\begin{eqnarray*} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k \end{eqnarray*}$

Ich fange links an:

$\begin{eqnarray*} [\sigma_i,\sigma_j]=\sigma_i\sigma_j-\sigma_j\sigma_i=[\sigma\sigma]_{ij}-[\sigma\sigma]_{ji} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir definiert: $\begin{eqnarray*} [AB]_{ij}=\sum_l[A]_{il}[B]_{lj} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} =\sum_l[\sigma]_{il}[\sigma]_{lj}-\sum_l[\sigma]_{jl}[\sigma]_{lj} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_l[\sigma]_{il}[\sigma]_{lj}-[\sigma]_{jl}[\sigma]_{lj} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Ich weiß auch nicht einmal ob der Weg den ich bis jetzt gegangen bin richtig ist. Kannst du mir helfen?

28.04.2014, 00:36

RavenOnJ

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RE: Pauli-Matrizen
Jetzt musst du halt noch die konkreten Matrizen einsetzen, sonst kommst du nicht weiter. Ganz so, wie du es in deinem ersten Posting gemacht hast. Dort hast du $\begin{eqnarray*} [\sigma_1,\sigma_2] \end{eqnarray*}$ berechnet. Jetzt mache das noch mit $\begin{eqnarray*} [\sigma_2,\sigma_3] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [\sigma_3,\sigma_1] \end{eqnarray*}$ .

28.04.2014, 16:03

Van Thom

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RE: Pauli-Matrizen
Zu der a) habe ich nun alles hinbekommen. Bei der b) habe ich jetzt jeweils folgendes herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_i,\sigma_j\}=0=2\delta_{ij}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$ und das für alle Fälle da jeweils gilt $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \delta_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so? smile

28.04.2014, 17:14

RavenOnJ

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RE: Pauli-Matrizen
Da für alle i gilt: $\begin{eqnarray*} \sigma_i^2 = \mathbb I \end{eqnarray*}$ , wirst du es wohl richtig berechnet haben.

28.04.2014, 17:30

Van Thom

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RE: Pauli-Matrizen
Ich kann ja mal einen von drei Fällen aufschreiben.

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=2\delta_{12}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_1=\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun schaue ich mir die rechte Seite an.

$\begin{eqnarray*} 2\delta_{12}\mathbb{I}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \delta_{12}=0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} 1\neq 2 \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt: $\begin{eqnarray*} \{\sigma_1,\sigma_2\}=2\delta_{12}\mathbb{I} \end{eqnarray*}$

Das wäre der erste Fall. Schonmal vielen lieben Dank für deine Unterstützung. smile

28.04.2014, 18:31

RavenOnJ

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RE: Pauli-Matrizen
Na ja, gerade diesen Fall hattest du ja schon in deinem ersten Posting bearbeitet, war also nichts neues. Ich denke aber, dass die Sache jetzt klar ist.

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