nicht stetig => nicht schwach diffbar? |
| 26.04.2014, 21:11 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| nicht stetig => nicht schwach diffbar? Ist die Aussage richtig: f ist nicht stetig => f ist nicht schwach differenzierbar? Meine Ideen: Ich glaube nicht, wär aber praktisch wenn doch, da ich gern zeigen könnte, dass bspw die Signumsfkt nicht schwach diffbar ist. (Wie man daas sonst noch machen kann hab ich wo anders gefunden) |
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| 26.04.2014, 22:34 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm, dürfte nicht stimmen. Z.B. wird üblicherweise als Ableitung der Heavisidefunktion die Deltafunktion angegeben und die Heavisidefunktion ist nicht stetig. |
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| 26.04.2014, 22:51 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: nicht stetig => nicht schwach diffbar?
Fast. Und zwar wirklich "fast" 
Schwach differenzierbare Funktionen müssen nicht stetig sein, aber fast überall gleich einer stetigen Funktion sein.
Direkt über die Definition
Das bezieht sich auf distributionelle Ableitungen, nicht auf schwache. Die "Deltafunktion" ist ja noch nicht einmal eine richtige Funktion! |
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| 27.04.2014, 11:04 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank euch beiden! Noch eine kurze Frage: Wenn ich zb die Funktion f(x) = 0 x<=0 2x 0<x<1 2 x>=1 gegeben habe und ich möchte wissen ob sie schwach diffbar ist, ist es richtig, die Lipschitzstetigkeit zu überprüfen, indem man Fallunterscheidungen macht, also x,y <=0 |f(x)-f(y)|=0<=1|x-y| 0<x,y<1 ... .. Dabei auch die Fälle abdeckt, wo x und y aus verschiedenen Bereichen sind. Und am Ende als Lipschitz Konstante das Maximum aller Konstanten nimmt? |
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| 27.04.2014, 11:48 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das könntest du tatsächlich machen. Oder aber du rechnest auch hier die Definition nach, nachdem du die Ableitung "erraten" hast. |
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| 27.04.2014, 15:54 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay vielen Dank! Mit Definition überprüfen meinst du die Definition der Existenz einer schwachen Ableitung mit den Integralen? Ich verstehe nicht wie man diese äußerst theoretische Definition überprüfen kann, da die Gleichung doch für alle Testfunktionen erfüllt sein muss! |
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| 27.04.2014, 15:59 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Testfunktionen kann man ja einfach beliebig halten. Ihr habt doch sicher gezeigt, dass klassische Ableitungen auch schwache sind, oder? Das kann man sehr schön direkt mit der Definition nachweisen – schlag das nach, falls ihr das nicht doch ausgelassen haben solltet. Und danach kannst du nochmal mit der Betragsfunktion üben. |
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| 27.04.2014, 16:50 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also um zu zeigen, dass eine Funktion nicht schwach diffbar ist, könnte man eine beliebe passende Testfunktion nehmen und zeigen dass die Gleichung nicht erfüllt ist, ja. Aber wenn man zeigen will, dass sie schon schwach diffbar ist, kann man nicht eine beliebige nehmen..Ich versteh da was falsch glaub ich. Dass jede klassische Ableitung eine schwache ist, ist mir klar, aber was bringt mir das hier? Ist aber nicht mehr so wichtig, ich weiß immerhin, wie man es machen kann
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| 27.04.2014, 17:28 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das funktioniert, wenn man zeigen möchte, dass eine bestimmte Funktion nicht die schwache Ableitung ist.
Die Aussage selbst bringt hier gar nichts, aber wie beweist du sie denn? |
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| 27.04.2014, 18:21 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Den Beweis hatten wir nicht in der Vorlesung =/ Aber danke für die Hilfe! Ich werds einfach mit Lipschitzstetigkeit angehen
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| 27.04.2014, 18:31 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Noch eine kurze Frage: Für f(x,y,z)=1/(sqrt(x²+y²+z²) f(0,0,0)=0 kann man sagen, die schwache Ableitung exisitert, da f fast überall gleich einer stetigen Funktion ist und somit schwach diffbar? Also einfach klassisch differenzieren, und bei (0,0,0) einen beliebigen Wert für die schwache Ableitung wählen? |
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| 27.04.2014, 18:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist überhaupt nicht der Fall und selbst wenn, dann würde es nichts aussagen. |
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| 27.04.2014, 20:30 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achso klar, ich habe bei deinem oberen Post eine Äquivalenz gesehen, wo keine ist.. Es gilt also: f ist schwach diffbar =>f ist fast überall gleich einer stetigen Funktion Wenn also, wie du meinst, es keine stetige Fkt gibt, so dass f fast überall gleich dieser ist müsste folgen, dass f nicht schwach diffbar ist. Bei meinem Beispiel kann man sich nicht genau vorstellen wie der Graph von f aussieht.. Aber wenn ich f auf R³\{0,0,0} betrachte ist sie doch stetig und {0,0,0} ist eine Lebesgue Nullmenge (des dreidimensionalen Lebesgue Maßes). Somit wäre f fast überall gleich einer stetigen Funktion. (Woraus nichts folgen würde) Was stimmt hier nicht? 
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| 27.04.2014, 20:33 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, daraus folgt nur, dass fast überall stetig ist. |
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| 27.04.2014, 21:19 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achso ich glaub, jetzt hab ich's verstanden. Es gibt eben keine stetige Funktion, die fast überall mit f übereinstimmt, und somit müsste doch folgen, dass f nicht schwach diffbar ist? |
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| 28.04.2014, 06:35 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im mehrdimensionalen Fall sieht das etwas anders aus. Nutze also besser nur die Mittel, die dir aus der Vorlesung auch tatsächlich zur Verfügung stehen... |
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| 29.04.2014, 23:28 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In meinen Skript steht, dass die Aussage "klassisch diffbar => schwach diffbar" direkt aus der Definition der schwachen Ableitung folgt. (Indem man wiederholt mehrmals partiell integriert denk ich..) Aber Beispiele zu mehrdimensionalen Fkt habe ich nicht gefunden =/ Meinst du ist meine Funktion schwach diffbar oder nicht? |
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