Beweis Winkelsumme im n-Eck mittels vollständiger Induktion |
| 27.04.2014, 10:48 | Gast14 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis Winkelsumme im n-Eck mittels vollständiger Induktion Hallo zusammen, ich wollte Euch fragen, ob folgende Beweisführung zur Winkelsumme im n-Eck korrekt ist oder hab ich nen Logikfehler drin? Behauptung: Die Winkelsumme (WS) im n-Eck beträgt (n-2)*180° Vorrausgesetzt für diesen Beweis wird die Gültigkeit vom Stufenwinkelsatz und Scheitelwinkelsatz: Stufenwinkel sind gleich groß Scheitelwinkel sind gleich groß Außerdem wird vorrausgesetzt, daß man folgendes weiß: Jedes n-Eck läßt sich in (n-2) Teildreiecke zerlegen (also ein Viereck in 2 Teildreiecke, ein Fünfeck in 3 Teildreiecke usw.) Vielen Dank für Eure Hilfe! Meine Ideen: Beweis: Zunächst beweise ich die Gültigkeit des Gesetzes für das Dreieck (n = 3) 1.Schritt (für n = 3) Ich zeichne ein Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c und den Winkeln alpha, beta und gamma. Dann konstruiere ich zu einer der drei Dreiecksseiten (z.B. der Seite c) die Parallele p durch den Eckpunkt, der der jeweiligen Seite gegenüberliegt (z.B. durch den Eckpunkt C). Nun verlängere ich die beiden anderen Seiten (a und b) über den Eckpunkt C hinaus. So ergeben sich an der Parallelen p beim Punkt C drei Winkel alpha Strich, beta Strich und gamma Strich, die genauso groß wie alpha, beta und gamma sind, denn: alpha und alpha Strich sind Stufenwinkel beta und beta Strich sind Stufenwinkel gamma und gamma Strich sind Scheitelwinkel Da alpha Strich + beta Strich + gamma Strich den getreckten Winkel 180° ergibt, gilt auch: alpha + beta + gamma = 180° Die Gültigkeit des Gesetzes WS (n) = (n-2)*180° ist somit für das Dreieck (n = 3) bewiesen, denn (3-2) * 180° = 180° Für das beliebige n-Eck versuche ich, dieses Gesetz mittels vollständiger Induktion zu beweisen. 2. Schritt (für beliebiges n mit n aus der Menge der natürlichen Zahlen) Wenn das Gesetz für jedes beliebige n (n Element der Menge der natürlichen Zahlen) gilt, dann muß es auch für (n+1) gelten. Für n wird das Gesetz als gültig vorrausgesetzt: WS (n) = (n - 2) * 180° Nun ist zu zeigen, daß es dann auch für (n+1) gültig ist: WS (n+1) = ((n+1) - 2) * 180° Den Klammerterm kann man umformen (Assoziativ- und Kommutativgesetz der Addition bzw. Subtraktion): WS (n+1) = (n + 1 - 2) * 180° = (n - 2 + 1) * 180° = ((n-2) + 1) * 180° Jetzt kann man die Klammer teilweise auflösen (Distributivgesetz): WS (n+1) = (n - 2) * 180° + 1 * 180° An dieser Gleichung sieht man Folgendes: Nimmt beim n-Eck die Anzahl der Ecken um 1 zu (also geht man vom n-Eck zum (n+1)-Eck, dann nimmt die WS um 180° zu. Weil als bekannt vorrausgesetzt wurde, daß sich ein n-Eck in (n-2) Teildreiecke zerlegen läßt, weiß man auch, daß sich dann ein (n+1)-Eck in ((n-2) + 1) Teildreiecke zerlegen läßt. D.h. ein (n+1)-Eck "besteht" immer aus einem Teildreieck mehr als das n-Eck. Da das (n+1)-Eck ein Teildreick (WS = 180°) mehr enthält als das n-Eck, muß auch die WS im (n+1)-Eck um 180° größer sein als im n-Eck. Und genau das besagt die mittels vollständiger Induktion bewiesene Formel: WS (n+1) = (n - 2) * 180° + 1 * 180° WS (n+1) = WS (n) + 180° Also ist die Formel WS (n+1) = (n - 2) * 180° + 1 * 180° korrekt. Haben wir damit auch bewiesen, daß die zu beweisende Formel WS (n) = (n - 2) * 180° korrekt ist? Meiner Meinung nach ja, denn es ist bewiesen, daß: 1) die Formel WS (n) = (n - 2) * 180° für n = 3 korrekt ist 2) die Herletung der Formel für das (n+1)-Eck WS (n+1) = WS (n) + 180° aus der zu beweisenden Formel für das n-Eck WS (n) = (n - 2) * 180° korrekt ist, daß also das Gesetz immer auch für das nächst größere n gilt: Das Gesetz gilt für n = 3, dann gilt es auch für n = 4, dann gilt es auch für n = 5, usw. dann gilt es auch für jedes beliebige n aus der Menge der natürlichen Zahlen. Viele Grüße und Euch noch einen schönen Sonntag! |
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