Normalform im Sinne des Trägheitssatzes v. Sylvester bestimmen

27.04.2014, 11:24	Escapado	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalform im Sinne des Trägheitssatzes v. Sylvester bestimmen Hallo, ich habe folgende Aufgabe und möchte gern wissen ob ich das richtig gelöst habe: Betrachten Sie \|R² zusammen mit dem kanonischen Skalarprodukt <.,.> und betrachten sie außerdem die symmetrische Billinearform: $\begin{eqnarray} \beta(u,v):= \langle u, \begin{pmatrix}2 &-\sqrt{2} \\-\sqrt{2} & 3\end{pmatrix}v\rangle ,\,\,\,\, \forall u,v \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ Bestimmen sie für $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ die Normalform im Sinne des Trägheitssatzes von Sylvester, d.h. bestimmen Sie die Zahlen r+, r-, r0 und eine Orthoogonale Basis bezüglich derer die darstellende Matrix diese Normalform hat. Also als erstes habe ich mal die Eigenwerte von der Matrix da bestimmt und erhalte: $\begin{eqnarray} \lambda_1 = 1, \,\,\ \lambda_2 = 4 \end{eqnarray}$ Für die Eigenvektoren bekomme ich $\begin{eqnarray} u_1 = \begin{pmatrix}\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix} ,\,\,\,\,\,u_2 = \begin{pmatrix}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun hieß es in der Vorlesung um eine Orthogonale Basis zu finden in der die darstellende Matrix die gewünschte Form hat müssen die Eigenvektoren normiert werden und dann die normierten Eigenvektoren durch die (edit: Wurzel der) Eigenwerte geteilt werden. Also $\begin{eqnarray} b_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{1}} \begin{pmatrix}\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix} , \,\,\,\,\,\, b_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\1 \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit diesen Vektoren gilt jetzt: $\begin{eqnarray} \beta(b_i, b_j) = \delta_{ij} \end{eqnarray}$ Nun sind die Anzahl der r+ die Anzahl der positiven Eigenwerte, also hier 2. r- ist die Anzahl der negativen Eigenwerte, die ist null und die Anzahl der Eigenwerte r0 ist auch null. Alle Eigenwerte werden mit ihrer geometrischen Vielfachheit gezählt. Da beide Eigenwerte Positiv und einfache Nullstellen des Charakteristischen Polynoms sind und die geometrische Vielfachheit durch die algebraische beschränkt ist, hat man r+ = 2, r-=0 und r0 = 0. Ist das so richtig?

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