Diagonalisierbarkeit & Transformationsmatrix

27.04.2014, 11:29

Kapuzit

Diagonalisierbarkeit & Transformationsmatrix

Hallo!

Ich habe eine Frage zum Aufgabentyp der Art: "Bestimmen Sie eine reguläre Matrix S, sodass $\begin{eqnarray*} SAS^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist. A ist gegeben durch A = ...".

1.) Das heißt doch, dass man mitunter zeigen muss, dass A diagonalisierbar ist, richtig?

Die Vorgehensweise ist mir mehr oder weniger klar:

2.) Ich bestimme das charakteristische Polynom von A und damit dann die Eigenwerte von A.
3.) Ich bestimme anhand der Eigenwerte die Eigenvektoren bzw. die Dimension der Eigenräume zum entsprechenden Eigenwert.

4.) Wenn die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ gleich der geometrischen Vielfachheit von $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ ist, d.h. die Vielfachheit des Eigenwertes $\begin{eqnarray*} t_i = dim Eig(A;t_i) \end{eqnarray*}$ , dann ist die Matrix A diagonalisierbar und ich kann fortfahren.

5.) Sei nun A diagonalisierbar. Angenommen ich erhielt durch Schritt 2-4 derartige Ergebnisse, sodass ich drei Eigenvektoren erhalte, die lauten:

$\begin{eqnarray*} v_1 = (1, 0, 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = (0, 1, 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3 = (1, 3, 2) \end{eqnarray*}$

Ich stelle nun diese Eigenvektoren (die jeweils eine Basis eines Eigenraumes für einen bestimmten Eigenwert darstellen) als Spaltenvektoren in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

6.) Insofern ich bisher alles richtig gemacht habe lautet meine Frage nun: Welche Matrix ist die in Schritt 5 berechnete, aus Eigenvektoren bestehende Matrix?! Ist es die gesuchte Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ oder die Inverse $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Matrix A stelle ich mir vor als eine Übergangsmatrix von einer Basis B zur selben Basis B. D.h. $\begin{eqnarray*} A = M_{B, B} \end{eqnarray*}$ .

Dann müsste die Matrix S eine Transformationsmatrix sein, und zwar $\begin{eqnarray*} S = T_{N, B} \end{eqnarray*}$ , die also von einer Basis N auf die Basis B abbildet.

Dann bedeutet

$\begin{eqnarray*} SAS^{-1} \end{eqnarray*}$ (s. Aufgabenstellung), dass ich zuerst von N auf B abbilde, dann von B auf B, schließlich von B auf N und insgesamt eine Abbildung erhalte von N auf N, sodass schließlich D eine Transformationsmatrix der Form $\begin{eqnarray*} D = T_{N, N} \end{eqnarray*}$ darstellt.

Nun bleibt dann nur noch die Frage stehen: Ist die Matrix aus Eigenvektoren S oder S^-1? Bildet sie ab von B auf N oder von N auf B?

27.04.2014, 13:58

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RE: Diagonalisierbarkeit & Transformationsmatrix
zu 4.) Für jeden Eigenwert $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ muss die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit sein.
zu 6.) Für die Matrix aus 5.), ich nenne sie V, gilt AV=VD wobei D die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist.

28.04.2014, 09:10

Kapuzit

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RE: Diagonalisierbarkeit & Transformationsmatrix

Zitat:

Original von URL
zu 4.) Für jeden Eigenwert $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ muss die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit sein.
zu 6.) Für die Matrix aus 5.), ich nenne sie V, gilt AV=VD wobei D die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist.

Hallo,

zu 4.) Ja, stimmt, habe ich falsch geschrieben! Danke!

zu 6.) Was folgt dann aus AV = VD? Dass $\begin{eqnarray*} D = AVV^{-1} \end{eqnarray*}$ wenn V invertierbar ist?

28.04.2014, 09:34

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RE: Diagonalisierbarkeit & Transformationsmatrix

Zitat:

Original von Kapuzit
zu 6.) Was folgt dann aus AV = VD? Dass $\begin{eqnarray*} D = AVV^{-1} \end{eqnarray*}$ wenn V invertierbar ist?

Nein. Bedenke, dass Matrizenmultiplikation in aller Regel nicht kommutativ ist

28.04.2014, 10:41

Kapuzit

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Aus $\begin{eqnarray*} AV = VD \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann zumindest $\begin{eqnarray*} A = VDV^{-1} \end{eqnarray*}$ , womit ich etwa ganz leicht Potenzen von A berechnen kann. Aber wie kann ich damit die Matrix V bestimmen, sodass

$\begin{eqnarray*} VAV^{-1} \end{eqnarray*}$ , s. Aufgabenstellung, eine Diagonalmatrix ist?

28.04.2014, 23:41

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Also die Aufgabenstellung ist doch "Bestimmen Sie eine reguläre Matrix S, sodass $\begin{eqnarray*} SAS^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist"
Warum löst du nicht $\begin{eqnarray*} AV = VD \end{eqnarray*}$ nach D auf?

29.04.2014, 14:34

Kapuzit

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Wie geht das denn, wenn die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist?

29.04.2014, 17:35

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Indem du $\begin{eqnarray*} AV = VD \end{eqnarray*}$ von links mit $\begin{eqnarray*} V^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizierst

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