Beweis korrekt? Quadratische Matrix (n,n) genau dann regulär, wenn rg A = n

27.04.2014, 11:58	Mathematiknerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis korrekt? Quadratische Matrix (n,n) genau dann regulär, wenn rg A = n Meine Frage: Also ich soll zeigen, dass eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{ K }_{n,n} \end{eqnarray}$ genau dann regulär ist, wenn rg A = n. Für meinen Beweisversuch verwende ich die Sätze: Satz 1: Lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ist genau dann Isomorphismus, wenn die zugehörige Abbildungsmatrix eine quadratische, reguläre Matrix ist. Satz 2: Lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \sigma: V_1 \rightarrow V_2 \end{eqnarray}$ ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern den Nullvektor von von $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ als einziges Element enthält. Dimensionssatz Ist mein Beweis korrekt? Danke Meine Ideen: Da A regulär ist, ist $\begin{eqnarray} \sigma: \mathbb{ K }^n \rightarrow \mathbb{ K }^n : x \rightarrow Ax \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus, also bijektiv ( Satz 1 ). Daher ist $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ auch injektiv, also enthält der Kern von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ als einziges Element den Nullvektor ( Satz 2 ). Daher ist $\begin{eqnarray} dim Kern( \sigma ) = 0 \end{eqnarray}$ . Aus dem Dimensionssatz folgt $\begin{eqnarray} dim \mathbb{ K }^n = dim Kern( \sigma ) + rg \sigma \Leftrightarrow rg \sigma = rg A = n \end{eqnarray}$ , also rg A = n. Da Dimensionssatz, Satz 1 und 2 Biimplikationen sind, gilt auch die Rückrichtung.

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