Injektivität mit Quantoren ausdrücken

27.04.2014, 13:54

donot

Injektivität mit Quantoren ausdrücken

Seit einiger Zeit schlage ich mich damit herum, Injektivität mit Quantoren auszudrücken.
Jetzt glaube ich, zu einem Ergebnis gekommen zu sein -vielleicht kann das mal jemand überprüfen:

$\begin{eqnarray*} f: X --> Y, (x_{1},x_{2})\in X, \forall x_{1} \neq x_{2} <=> f(x_{1})\neq f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

...oder so kann man es glaube ich auch ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} \forall f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} \end{eqnarray*}$

...wobei hier der Pfeil nur nach rechts geht.

Was denkt ihr?

28.04.2014, 16:47

weisbrot

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RE: Injektivität mit Quantoren ausdrücken
ne...

1.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2)\in X \end{eqnarray*}$

ich gehe davon aus, dass du damit $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in X \end{eqnarray*}$ meinst, und nicht, dass X eine menge von paaren ist.

2.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \forall x_{1} \neq x_{2} <=> f(x_{1})\neq f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ ...oder so kann man es glaube ich auch ausdrücken: $\begin{eqnarray*} \forall f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} \end{eqnarray*}$ ...wobei hier der Pfeil nur nach rechts geht.

nach einen quantor gehört immer eine variable, über die quantifiziert wird, das hast du hier weggelassen.

syntaktisch korrekt wäre
$\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2\in X : x_1\neq x_2\Leftrightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$
wobei hier die implikation nach links weggelassen werden kann, weil die eine grundeigenschaft von funktionen ist (rechtseindeutigkeit oder so).
also reicht $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2\in X : x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$
was äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2\in X : f(x_1) = f(x_2)\Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ .

lg

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