Herleitung Varianzverschiebungssatz

27.04.2014, 14:01

MikeKB878

Herleitung Varianzverschiebungssatz

Hallo! Ich versuche folgendes herzuleiten:

$\begin{eqnarray*} V[X]=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2 \end{eqnarray*}$

Soweit komme ich:

$\begin{eqnarray*} E[(X-E[X])^2]=E[X^2-2XE[X]+(E[X])^2]=E[X^2]-2E[XE[X]]+(E[X])^2 \end{eqnarray*}$

Um zu dem gewünschten Ergebnis zu kommen müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} 2E[XE[X]]=2E[X]E[E[X]]=2E[X]E[X]=2(E[X])^2 \end{eqnarray*}$

der erste Schritt gilt nur wenn X und E[X] unabhängig sind, oder? Warum sollte E[X] von X unabhängig sein?

Vielen Dank für eure Hilfe!

27.04.2014, 14:08

10001000Nick1

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Wenn a eine Konstante ist, dann ist $\begin{eqnarray*} E[a\cdot X]=a\cdot E[X] \end{eqnarray*}$ .
Das kannst du bei $\begin{eqnarray*} E[X\cdot E[X]] \end{eqnarray*}$ verwenden.

27.04.2014, 14:12

Kasen75

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RE: Herleitung Varianzverschiebungssatz

Zitat:

Original von MikeKB878

$\begin{eqnarray*} 2E[XE[X]]=2E[X]E[E[X]]=2E[X]E[X]=2(E[X])^2 \end{eqnarray*}$

der erste Schritt gilt nur wenn X und E[X] unabhängig sind, oder? Warum sollte E[X] von X unabhängig sein?

Hallo,

die Frage der Unabhängigkeit stellt sich hier nicht. Es gilt der Satz: Der Erwartungswert des Erwartungswertes einer Zufallsvariable ist der Erwartungswert der Zufallsvariable.

$\begin{eqnarray*} E(E(X))=E(X) \end{eqnarray*}$

Grüße.

Edit: Viel zu spät.

27.04.2014, 14:26

MikeKB878

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Ahhh! Ja klar! Hammer

Vielen Dank!

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Herleitung Varianzverschiebungssatz

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